Номер 236, страница 47, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

236 Сократи дроби, а затем расположи их в порядке возрастания $(a, b \in N)$:

$\frac{112}{392}$, $\frac{5 \cdot 7}{14}$, $\frac{26 \cdot 8 \cdot 17}{51 \cdot 13 \cdot 24}$, $\frac{32 \cdot 3 + 32}{32 \cdot 7}$, $\frac{25ab}{15ba}$.

Для того чтобы выполнить задание, сначала необходимо сократить каждую из предложенных дробей, а затем, сравнив их, расположить в порядке возрастания.

1. Сокращение дробей

$\frac{112}{392}$

Чтобы сократить эту дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, разложив их на простые множители.
$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^4 \cdot 7$
$392 = 2 \cdot 196 = 2 \cdot 2 \cdot 98 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 49 = 2^3 \cdot 7^2$
Теперь сократим общие множители:
$\frac{112}{392} = \frac{2^4 \cdot 7}{2^3 \cdot 7^2} = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$

$\frac{5 \cdot 7}{14}$

Выполним умножение в числителе, а затем сократим дробь.
$\frac{5 \cdot 7}{14} = \frac{35}{14}$
Числитель и знаменатель делятся на 7:
$\frac{35 \div 7}{14 \div 7} = \frac{5}{2}$
Ответ: $\frac{5}{2}$

$\frac{26 \cdot 8 \cdot 17}{51 \cdot 13 \cdot 24}$

Для сокращения этой дроби представим числа в виде множителей и сократим одинаковые.
$26 = 2 \cdot 13$
$51 = 3 \cdot 17$
$24 = 3 \cdot 8$
Подставим эти разложения в дробь:
$\frac{26 \cdot 8 \cdot 17}{51 \cdot 13 \cdot 24} = \frac{(2 \cdot 13) \cdot 8 \cdot 17}{(3 \cdot 17) \cdot 13 \cdot (3 \cdot 8)}$
Сокращаем общие множители 13, 8 и 17 в числителе и знаменателе:
$\frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

$\frac{32 \cdot 3 + 32}{32 \cdot 7}$

В числителе вынесем общий множитель 32 за скобки, чтобы упростить выражение.
$32 \cdot 3 + 32 = 32 \cdot (3 + 1) = 32 \cdot 4$
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 7}$
Сокращаем на 32:
$\frac{4}{7}$
Ответ: $\frac{4}{7}$

$\frac{25ab}{15ba}$

По условию $a, b \in N$, что означает, что $a$ и $b$ — натуральные числа, не равные нулю. Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), мы можем сократить переменные $a$ и $b$.
$\frac{25ab}{15ba} = \frac{25}{15}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{25 \div 5}{15 \div 5} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$

2. Расположение дробей в порядке возрастания

Мы получили следующие сокращенные дроби: $\frac{2}{7}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{3}$.
Для их сравнения приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 2, 3, 7, 9 равно 126.
$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 18}{7 \cdot 18} = \frac{36}{126}$
$\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 63}{2 \cdot 63} = \frac{315}{126}$
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 14}{9 \cdot 14} = \frac{28}{126}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 18}{7 \cdot 18} = \frac{72}{126}$
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 42}{3 \cdot 42} = \frac{210}{126}$
Теперь сравним полученные дроби по их числителям:
$28 < 36 < 72 < 210 < 315$
Значит, порядок дробей следующий:
$\frac{28}{126} < \frac{36}{126} < \frac{72}{126} < \frac{210}{126} < \frac{315}{126}$
Что соответствует порядку:
$\frac{2}{9} < \frac{2}{7} < \frac{4}{7} < \frac{5}{3} < \frac{5}{2}$
Теперь вернемся к исходным дробям и запишем их в порядке возрастания.
Ответ: $\frac{26 \cdot 8 \cdot 17}{51 \cdot 13 \cdot 24}; \frac{112}{392}; \frac{32 \cdot 3 + 32}{32 \cdot 7}; \frac{25ab}{15ba}; \frac{5 \cdot 7}{14}.$