Номер 233, страница 47, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

233 Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия (значения всех переменных – натуральные числа):

1) $\frac{m}{4} - \frac{3}{k};$

2) $\frac{2}{d} + \frac{c}{n};$

3) $\frac{7}{ab} + \frac{5}{b};$

4) $\frac{1}{8x} - \frac{y}{6x}.$

1)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{m}{4} - \frac{3}{k}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $4$ и $k$. Поскольку у них нет общих множителей (если не заданы специальные условия для переменной $k$), наименьшим общим знаменателем (НОЗ) будет их произведение: $4k$.
Далее найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{m}{4}$ дополнительный множитель равен $\frac{4k}{4} = k$. Для второй дроби $\frac{3}{k}$ дополнительный множитель равен $\frac{4k}{k} = 4$.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:
$\frac{m}{4} - \frac{3}{k} = \frac{m \cdot k}{4 \cdot k} - \frac{3 \cdot 4}{k \cdot 4} = \frac{mk}{4k} - \frac{12}{4k} = \frac{mk - 12}{4k}$.

Ответ: $\frac{mk - 12}{4k}$

2)

Для сложения дробей $\frac{2}{d} + \frac{c}{n}$ их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели — переменные $d$ и $n$. Их наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен их произведению $dn$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{d}$ — это $n$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{c}{n}$ — это $d$.
Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем сложение:
$\frac{2}{d} + \frac{c}{n} = \frac{2 \cdot n}{d \cdot n} + \frac{c \cdot d}{n \cdot d} = \frac{2n}{dn} + \frac{cd}{dn} = \frac{2n + cd}{dn}$.

Ответ: $\frac{2n + cd}{dn}$

3)

Рассмотрим сложение дробей $\frac{7}{ab} + \frac{5}{b}$. Знаменатели этих дробей — $ab$ и $b$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных выражений — это $ab$, поскольку $ab$ делится и на $ab$, и на $b$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{7}{ab}$ равен 1, так как ее знаменатель уже является общим. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{5}{b}$ равен $a$, так как $b \cdot a = ab$.
Приводим вторую дробь к общему знаменателю и выполняем сложение числителей:
$\frac{7}{ab} + \frac{5}{b} = \frac{7}{ab} + \frac{5 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{7}{ab} + \frac{5a}{ab} = \frac{7 + 5a}{ab}$.

Ответ: $\frac{7 + 5a}{ab}$

4)

Чтобы найти разность дробей $\frac{1}{8x} - \frac{y}{6x}$, сначала определим их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Знаменатели — $8x$ и $6x$. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов $8$ и $6$, а также учтем общую переменную $x$.
НОК(8, 6) = 24.
Таким образом, НОЗ дробей равен $24x$.
Найдем дополнительные множители. Для первой дроби $\frac{1}{8x}$ он равен $\frac{24x}{8x} = 3$. Для второй дроби $\frac{y}{6x}$ он равен $\frac{24x}{6x} = 4$.
Теперь выполним преобразование и вычитание:
$\frac{1}{8x} - \frac{y}{6x} = \frac{1 \cdot 3}{8x \cdot 3} - \frac{y \cdot 4}{6x \cdot 4} = \frac{3}{24x} - \frac{4y}{24x} = \frac{3 - 4y}{24x}$.

Ответ: $\frac{3 - 4y}{24x}$