Номер 234, страница 47, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

234 1) Фермер с октября до января израсходовал $\frac{5}{16}$ годового запаса овса, а с января до апреля – на $\frac{1}{8}$ больше. Какая часть овса у него ещё осталась?

2) Рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а его ученик – за 8 ч. Какую часть работы останется выполнить после 2 ч их совместной работы?

1)
Сначала определим, какую часть годового запаса овса фермер израсходовал с января по апрель. По условию, это на $ \frac{1}{8} $ больше, чем за период с октября по январь.
Часть овса, израсходованная с октября по январь: $ \frac{5}{16} $.
Чтобы найти часть, израсходованную с января по апрель, прибавим $ \frac{1}{8} $ к $ \frac{5}{16} $. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 16:
$ \frac{5}{16} + \frac{1}{8} = \frac{5}{16} + \frac{1 \times 2}{8 \times 2} = \frac{5}{16} + \frac{2}{16} = \frac{7}{16} $.
Итак, с января по апрель было израсходовано $ \frac{7}{16} $ годового запаса овса.
Теперь найдем, какая общая часть овса была израсходована с октября по апрель, сложив части за два периода:
$ \frac{5}{16} + \frac{7}{16} = \frac{5+7}{16} = \frac{12}{16} $.
Чтобы найти, какая часть овса осталась, нужно вычесть израсходованную часть из всего запаса, который мы принимаем за 1 (или $ \frac{16}{16} $):
$ 1 - \frac{12}{16} = \frac{16}{16} - \frac{12}{16} = \frac{16-12}{16} = \frac{4}{16} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2)
Сначала определим производительность каждого — какую часть работы они выполняют за 1 час.
Рабочий может выполнить всю работу за 5 часов, значит, его производительность равна $ \frac{1}{5} $ работы в час.
Ученик выполняет ту же работу за 8 часов, следовательно, его производительность равна $ \frac{1}{8} $ работы в час.
Теперь найдем их совместную производительность, сложив их индивидуальные производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 40:
$ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{13}{40} $.
Их совместная производительность составляет $ \frac{13}{40} $ работы в час.
Далее вычислим, какую часть работы они выполнят вместе за 2 часа. Для этого умножим совместную производительность на время:
$ \frac{13}{40} \times 2 = \frac{26}{40} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{26 \div 2}{40 \div 2} = \frac{13}{20} $.
За 2 часа совместной работы будет выполнено $ \frac{13}{20} $ всего задания.
Чтобы найти, какая часть работы останется, вычтем выполненную часть из всей работы (которую принимаем за 1):
$ 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20} $.
Ответ: $ \frac{7}{20} $.