Номер 232, страница 47, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

232 Пользуясь свойствами сложения и вычитания дробей, вычисли наиболее удобным способом:

а) $ \frac{18}{19} + \frac{3}{7} + \frac{1}{19} + \frac{2}{7}; $

б) $ \left(\frac{29}{75} + \frac{5}{12}\right) - \frac{4}{75}; $

в) $ \frac{38}{51} - \left(\frac{4}{51} + \frac{11}{48}\right). $

а) Для вычисления выражения $\frac{18}{19} + \frac{3}{7} + \frac{1}{19} + \frac{2}{7}$ наиболее удобным способом является использование переместительного и сочетательного свойств сложения. Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\left(\frac{18}{19} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{3}{7} + \frac{2}{7}\right)$.

Теперь выполним сложение в каждой из групп.

Сумма дробей со знаменателем 19: $\frac{18}{19} + \frac{1}{19} = \frac{18+1}{19} = \frac{19}{19} = 1$.

Сумма дробей со знаменателем 7: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$.

Осталось сложить полученные результаты: $1 + \frac{5}{7} = 1\frac{5}{7}$.
Ответ: $1\frac{5}{7}$.

б) В выражении $\left(\frac{29}{75} + \frac{5}{12}\right) - \frac{4}{75}$ удобно применить свойство вычитания числа из суммы. Это позволяет изменить порядок действий и сначала выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\left(\frac{29}{75} - \frac{4}{75}\right) + \frac{5}{12}$.

Выполним вычитание в скобках: $\frac{29}{75} - \frac{4}{75} = \frac{29-4}{75} = \frac{25}{75}$.

Полученную дробь $\frac{25}{75}$ можно сократить на 25: $\frac{25 \div 25}{75 \div 25} = \frac{1}{3}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{1}{3} + \frac{5}{12}$.

Для сложения этих дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 12 это 12. Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 12: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$.

Теперь сложим дроби: $\frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{4+5}{12} = \frac{9}{12}$.

Сократим итоговую дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Чтобы вычислить $\frac{38}{51} - \left(\frac{4}{51} + \frac{11}{48}\right)$, применим правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Раскрыв скобки, получим:

$\frac{38}{51} - \frac{4}{51} - \frac{11}{48}$.

Наиболее удобно сначала выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{38}{51} - \frac{4}{51} = \frac{38-4}{51} = \frac{34}{51}$.

Сократим дробь $\frac{34}{51}$. Общий делитель для 34 и 51 это 17: $\frac{34 \div 17}{51 \div 17} = \frac{2}{3}$.

Теперь необходимо из полученного результата вычесть оставшуюся дробь: $\frac{2}{3} - \frac{11}{48}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 48 это 48. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 48: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 16}{3 \times 16} = \frac{32}{48}$.

Выполним вычитание: $\frac{32}{48} - \frac{11}{48} = \frac{32-11}{48} = \frac{21}{48}$.

Сократим полученную дробь на 3: $\frac{21 \div 3}{48 \div 3} = \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{16}$.