Номер 242, страница 48, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 242 Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе взятые, $D = C + S$, и столько же, сколько картина, корзина и картонка вместе, $D = K + R + T$. При этом каждый из предметов — картина, корзина и картонка — в отдельности весил больше, чем собачонка: $K > P$, $R > P$, $T > P$.

Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы.

При проверке оказалось, что если к собаке на весы добавить саквояж, то вместе они перевешивают диван, $P + S > D$, и то же самое происходит, если к собаке на весы добавить чемодан, $P + C > D$.

Докажи, что претензия дамы была справедлива.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого предмета:

• $Д$ – вес дивана
• $Ч$ – вес чемодана
• $С$ – вес саквояжа
• $Кр$ – вес картины
• $Кз$ – вес корзины
• $Кт$ – вес картонки
• $С_0$ – вес исходной собачонки, которую дама сдавала в багаж
• $С_1$ – вес собачонки, которую дама получила после выгрузки

Исходя из условия задачи, запишем известные соотношения в виде математических равенств и неравенств.

Из первоначальных данных:

1. Вес дивана равен суммарному весу чемодана и саквояжа: $Д = Ч + С$.

2. Вес дивана также равен суммарному весу картины, корзины и картонки: $Д = Кр + Кз + Кт$.

3. Вес каждого из предметов (картины, корзины и картонки) в отдельности больше веса исходной собачонки: $Кр > С_0$, $Кз > С_0$ и $Кт > С_0$.

Из данных, полученных при проверке после выгрузки:

4. Вес полученной собачки вместе с саквояжем больше веса дивана: $С_1 + С > Д$.

5. Вес полученной собачки вместе с чемоданом также больше веса дивана: $С_1 + Ч > Д$.

Нам необходимо доказать, что претензия дамы справедлива, то есть что собачку подменили. Математически это означает, что нужно доказать, что вес исходной собачки не равен весу полученной: $С_0 \neq С_1$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что дама ошиблась и собачку не подменили, то есть $С_0 = С_1$.

В этом случае неравенства (4) и (5), полученные при проверке, можно записать с использованием веса исходной собачки $С_0$:

$С_0 + С > Д$

$С_0 + Ч > Д$

Теперь подставим в эти неравенства выражение для веса дивана из пункта (1) ($Д = Ч + С$):

Из $С_0 + С > Д$ следует $С_0 + С > Ч + С$, что упрощается до $С_0 > Ч$.

Из $С_0 + Ч > Д$ следует $С_0 + Ч > Ч + С$, что упрощается до $С_0 > С$.

Таким образом, из нашего предположения следует, что исходная собачка была тяжелее чемодана ($С_0 > Ч$) и тяжелее саквояжа ($С_0 > С$). Сложив эти два неравенства, мы получим: $Ч + С < С_0 + С_0$, или $Ч + С < 2С_0$.

Теперь рассмотрим соотношения из пунктов (2) и (3). Сложив три неравенства из пункта (3), получим:

$Кр + Кз + Кт > С_0 + С_0 + С_0$

$Кр + Кз + Кт > 3С_0$

Так как из пункта (2) мы знаем, что $Д = Кр + Кз + Кт$, то можем заключить, что $Д > 3С_0$.

А поскольку, согласно пункту (1), $Д = Ч + С$, то получаем: $Ч + С > 3С_0$.

В результате мы пришли к двум несовместимым утверждениям:

1. $Ч + С < 2С_0$

2. $Ч + С > 3С_0$

Поскольку вес предметов является положительной величиной ($С_0 > 0$), суммарный вес чемодана и саквояжа ($Ч + С$) не может быть одновременно меньше удвоенного веса собачки и больше ее утроенного веса. Это логическое противоречие.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения, что $С_0 = С_1$. Следовательно, это предположение неверно, и $С_0 \neq С_1$. Это доказывает, что собачка, которую получила дама, — это не та собачка, которую она сдавала в багаж.

Ответ: Претензия дамы была справедлива.