Номер 36, страница 12, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

36 Найди методом проб и ошибок число:

1) квадратом которого является 1764;

2) куб которого равен 2197. Можно ли ответить на вопрос с одной попытки?

1) Требуется найти число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = 1764$. Будем использовать метод проб и ошибок, предварительно сузив диапазон поиска.

Сначала оценим порядок искомого числа. Известно, что $40^2 = 1600$, а $50^2 = 2500$. Поскольку $1600 < 1764 < 2500$, можно заключить, что искомое число $x$ находится в интервале от 40 до 50.

Далее обратим внимание на последнюю цифру числа 1764. Она равна 4. Квадрат целого числа может оканчиваться на 4 только в том случае, если само число оканчивается на 2 (поскольку $2^2 = 4$) или на 8 (поскольку $8^2 = 64$).

Таким образом, искомыми числами могут быть только 42 или 48. Начнем проверку с меньшего числа.

Проба 1: Проверим число 42.

$42^2 = 42 \times 42 = 1764$.

Эта проба оказалась успешной. Искомое число найдено.

Ответ: 42.

2) Требуется найти число $y$, для которого выполняется равенство $y^3 = 2197$. Снова применим метод проб и ошибок с предварительным анализом.

Оценим порядок числа. Мы знаем, что $10^3 = 1000$, а $20^3 = 8000$. Так как $1000 < 2197 < 8000$, искомое число $y$ находится в интервале от 10 до 20.

Теперь посмотрим на последнюю цифру числа 2197. Она равна 7. Проанализируем, на какую цифру оканчиваются кубы чисел от 0 до 9: $0^3=0, 1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64, 5^3=125, 6^3=216, 7^3=343, 8^3=512, 9^3=729$. Единственная цифра, куб которой оканчивается на 7, — это 3.

Следовательно, искомое число должно находиться между 10 и 20 и оканчиваться на 3. Этим условиям удовлетворяет только одно число — 13.

Проба 1: Проверим число 13.

$13^3 = 13 \times 13 \times 13 = 169 \times 13 = 2197$.

Проверка подтвердила наше предположение.

Ответ: 13.

Можно ли ответить на вопрос с одной попытки?

Да, на оба вопроса можно ответить с одной попытки, если под "попыткой" понимать проверку одного конкретного числа. Метод проб и ошибок становится гораздо эффективнее, если перед началом проверок провести логический анализ.

В первом задании ($x^2 = 1764$) анализ сузил возможные варианты до двух чисел: 42 и 48. Так как 1764 гораздо ближе к 1600 ($40^2$), чем к 2500 ($50^2$), логично было бы начать проверку именно с 42. В этом случае ответ находится с первой же попытки.

Во втором задании ($y^3 = 2197$) логический анализ позволил найти единственно возможный вариант — 13. В такой ситуации первая же "попытка" является просто проверкой уже найденного логическим путем ответа и гарантированно будет успешной.

Ответ: Да, можно.