Номер 682, страница 145, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

682 В бассейн проведены 2 трубы – большая и маленькая. Обе трубы вместе могут наполнить бассейн за 5 ч, а одна большая – за 6 ч. За сколько времени может наполнится $\frac{2}{3}$ бассейна через одну маленькую трубу?

Чтобы решить задачу, сначала найдем производительность (скорость работы) каждой трубы. За всю работу примем объем всего бассейна, равный 1.

1. Производительность двух труб вместе.

Обе трубы наполняют весь бассейн (1) за 5 часов. Значит, их совместная производительность составляет $\frac{1}{5}$ часть бассейна в час.

2. Производительность большой трубы.

Одна большая труба наполняет весь бассейн (1) за 6 часов. Значит, её производительность составляет $\frac{1}{6}$ часть бассейна в час.

3. Производительность маленькой трубы.

Чтобы найти производительность маленькой трубы, нужно из совместной производительности двух труб вычесть производительность большой трубы:

$P_{маленькая} = P_{совместная} - P_{большая} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$

Таким образом, производительность маленькой трубы составляет $\frac{1}{30}$ часть бассейна в час.

4. Время наполнения $\frac{2}{3}$ бассейна через маленькую трубу.

Теперь нужно найти, за какое время маленькая труба, работая со скоростью $\frac{1}{30}$ бассейна в час, заполнит $\frac{2}{3}$ бассейна. Для этого объем работы ($\frac{2}{3}$) разделим на производительность ($\frac{1}{30}$):

$T = \frac{2}{3} \div \frac{1}{30} = \frac{2}{3} \times \frac{30}{1} = \frac{2 \times 30}{3} = \frac{60}{3} = 20$ часов.

Ответ: за 20 часов.