Номер 683, страница 145, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

683 Артёму и Илье поручили покрасить забор. Артём может выкрасить весь забор за 10 ч, а Илья – за 15 ч. После 4 ч совместной работы Артём ушёл к врачу, и Илья закончил работу один. За сколько времени был выкрашен забор, если товарищи работают с постоянной производительностью?

Примем всю работу по покраске забора за 1 (одну целую единицу).

1. Найдем производительность каждого работника.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

Производительность Артёма: $P_А = \frac{1}{10}$ (часть забора в час).

Производительность Ильи: $P_И = \frac{1}{15}$ (часть забора в час).

2. Найдем совместную производительность.

Когда они работают вместе, их производительности складываются:

$P_{совм} = P_А + P_И = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P_{совм} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ (часть забора в час).

3. Найдем, какую часть забора они покрасили вместе за 4 часа.

Работа = Производительность × Время

$W_{совм} = P_{совм} \times t_{совм} = \frac{1}{6} \times 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (часть забора).

4. Найдем, какая часть забора осталась неокрашенной.

Оставшаяся работа: $W_{ост} = 1 - W_{совм} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (часть забора).

5. Найдем, за сколько времени Илья закончил работу в одиночку.

Эту оставшуюся часть Илья докрашивал один со своей производительностью $P_И = \frac{1}{15}$ забора в час.

Время = Работа / Производительность

$t_{Илья} = \frac{W_{ост}}{P_И} = \frac{1/3}{1/15} = \frac{1}{3} \times \frac{15}{1} = \frac{15}{3} = 5$ часов.

6. Найдем общее время, затраченное на покраску всего забора.

Общее время состоит из времени совместной работы и времени, когда Илья работал один.

$T_{общ} = t_{совм} + t_{Илья} = 4 \text{ часа} + 5 \text{ часов} = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.