Номер 752, страница 166, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

752 Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь, и запиши её в виде бесконечной десятичной дроби, указав период:

а) $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{25}{9}$;

в) $\frac{34}{11}$;

г) $\frac{11}{6}$;

д) $\frac{47}{18}$;

е) $\frac{95}{22}$.

а)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если её знаменатель в несократимом виде не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Дробь $1/3$ является несократимой. Знаменатель дроби равен $3$. Разложение знаменателя на простые множители ($3=3$) содержит простой множитель $3$, который не является ни $2$, ни $5$. Следовательно, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь. Чтобы перевести дробь в бесконечную десятичную, разделим числитель на знаменатель в столбик: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Период дроби равен 3.

Ответ: $0,(3)$.

б)

Дробь $25/9$ является несократимой. Знаменатель дроби равен $9$. Разложим знаменатель на простые множители: $9=3^2$. Поскольку в разложении есть простой множитель $3$, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Выделим целую часть: $25/9 = 2 \frac{7}{9}$. Теперь переведём дробную часть в десятичную дробь делением: $7 \div 9 = 0,777...$. Таким образом, $25/9 = 2,777... = 2,(7)$. Период дроби равен 7.

Ответ: $2,(7)$.

в)

Дробь $34/11$ является несократимой. Знаменатель дроби равен $11$. Это простое число, отличное от $2$ и $5$. Следовательно, дробь нельзя перевести в конечную десятичную. Выполним деление: $34 \div 11 = 3,0909... = 3,(09)$. Период дроби равен 09.

Ответ: $3,(09)$.

г)

Дробь $11/6$ является несократимой. Знаменатель дроби равен $6$. Разложение знаменателя на простые множители: $6=2 \cdot 3$. Оно содержит простой множитель $3$, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Выполним деление числителя на знаменатель: $11 \div 6 = 1,8333... = 1,8(3)$. Это смешанная периодическая дробь. Цифра 8 не входит в период, а цифра 3 образует период. Период дроби равен 3.

Ответ: $1,8(3)$.

д)

Дробь $47/18$ является несократимой. Знаменатель дроби равен $18$. Разложение знаменателя на простые множители: $18=2 \cdot 3^2$. Оно содержит простой множитель $3$, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Выполним деление: $47 \div 18 = 2,6111... = 2,6(1)$. Период дроби равен 1.

Ответ: $2,6(1)$.

е)

Дробь $95/22$ является несократимой, так как $95 = 5 \cdot 19$ и $22 = 2 \cdot 11$ не имеют общих делителей кроме 1. Знаменатель дроби равен $22$. Разложение знаменателя на простые множители: $22=2 \cdot 11$. Оно содержит простой множитель $11$, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Выполним деление: $95 \div 22 = 4,31818... = 4,3(18)$. Период дроби равен 18.

Ответ: $4,3(18)$.