Номер 769, страница 167, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

769 Построй математическую модель задачи.

1) Патрульная машина движется по шоссе из пункта А в пункт В. Когда до пункта В осталось $ \frac{2}{7} $ расстояния $AB$, водитель получил приказ вернуться к пункту С, расположенному на этом шоссе на расстоянии, равном $ \frac{1}{4} AB $ от пункта А. Чему равно расстояние $AB$, если машина при движении обратно прошла до пункта С 52 км?

2) На самолёте старого образца перелёт из города $M$ в город $N$ продолжался 3 ч 40 мин. На усовершенствованном самолёте за счёт увеличения его скорости на 405 км/ч время перелёта снизилось на 1 ч 48 мин. Чему равно расстояние между городами $M$ и $N$?

1) Обозначим искомое расстояние AB через $x$ км.
Патрульная машина движется из пункта А в пункт В. В некоторый момент времени, назовем его точкой D, до пункта B оставалось $\frac{2}{7}$ расстояния AB. Это означает, что машина уже проехала от пункта А расстояние, равное:
$AD = AB - DB = x - \frac{2}{7}x = (1 - \frac{2}{7})x = \frac{5}{7}x$.
Из точки D машина получила приказ вернуться к пункту C. Пункт С находится на расстоянии $\frac{1}{4}AB$ от пункта А. То есть, $AC = \frac{1}{4}x$.
Машина двигалась обратно из точки D в точку C. Расстояние, которое она прошла, равно разности расстояний AD и AC, так как точка С находится между А и D:
$DC = AD - AC = \frac{5}{7}x - \frac{1}{4}x$.
По условию задачи, это расстояние равно 52 км. Составим математическую модель (уравнение):
$\frac{5}{7}x - \frac{1}{4}x = 52$.
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 28:
$(\frac{5 \cdot 4}{28} - \frac{1 \cdot 7}{28})x = 52$
$(\frac{20 - 7}{28})x = 52$
$\frac{13}{28}x = 52$.
Теперь найдем $x$:
$x = 52 \div \frac{13}{28} = 52 \cdot \frac{28}{13}$
$x = \frac{52}{13} \cdot 28 = 4 \cdot 28 = 112$.
Таким образом, расстояние AB равно 112 км.

Ответ: 112 км.

2) Пусть $S$ км - искомое расстояние между городами М и N.
Пусть $v_1$ км/ч и $t_1$ ч - скорость и время перелёта на самолёте старого образца.
Пусть $v_2$ км/ч и $t_2$ ч - скорость и время перелёта на усовершенствованном самолёте.
Составим математическую модель на основе данных задачи.
Переведем время в часы:
$t_1 = 3 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 3 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{11}{3}$ ч.
Время перелёта снизилось на $1 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 1 + \frac{48}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{4}{5} \text{ ч} = \frac{9}{5}$ ч.
Следовательно, время перелёта на новом самолёте:
$t_2 = t_1 - \frac{9}{5} = \frac{11}{3} - \frac{9}{5} = \frac{55 - 27}{15} = \frac{28}{15}$ ч.
Скорость усовершенствованного самолёта выше на 405 км/ч:
$v_2 = v_1 + 405$.
Расстояние $S$ постоянно и равно произведению скорости на время:
$S = v_1 \cdot t_1$
$S = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 405) \cdot t_2$
Приравняем выражения для расстояния $S$:
$v_1 \cdot t_1 = (v_1 + 405) \cdot t_2$.
Подставим числовые значения времени:
$v_1 \cdot \frac{11}{3} = (v_1 + 405) \cdot \frac{28}{15}$.
Решим это уравнение, чтобы найти $v_1$:
$\frac{11}{3}v_1 = \frac{28}{15}v_1 + 405 \cdot \frac{28}{15}$
$\frac{11}{3}v_1 - \frac{28}{15}v_1 = \frac{405 \cdot 28}{15}$
$(\frac{11 \cdot 5}{15} - \frac{28}{15})v_1 = 27 \cdot 28$
$\frac{27}{15}v_1 = 756$
$\frac{9}{5}v_1 = 756$
$v_1 = 756 \cdot \frac{5}{9} = 84 \cdot 5 = 420$ км/ч.
Мы нашли скорость старого самолёта. Теперь найдем расстояние $S$:
$S = v_1 \cdot t_1 = 420 \cdot \frac{11}{3} = 140 \cdot 11 = 1540$ км.

Ответ: 1540 км.