Номер 770, страница 168, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

770 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Трапецией называется четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны.

2) Найди на рисунке трапеции.

a c e k m b d f n

3) Является ли трапецией параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат?

4) Пусть $A$ — множество четырёхугольников, $B$ — множество трапеций, $C$ — множество параллелограммов, $D$ — множество прямоугольников, $E$ — множество ромбов и $F$ — множество квадратов. Построй диаграмму Эйлера - Венна этих множеств.

5) Перечерти трапецию $ABCD$ в тетрадь и продолжи её стороны. Проанализируй чертёж и сформулируй гипотезу — как связаны между собой величины углов трапеции? Проверь с помощью измерений. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Можно ли на основании нескольких измерений распространить полученный вывод на все трапеции?

1) В представленном определении: "Трапецией называется четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны", определяемым понятием является трапеция.

Ответ: Трапеция.

2) Согласно определению, трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Проанализируем представленные фигуры:

• Фигура a: имеет одну пару параллельных сторон (верхнее и нижнее основания). Это трапеция.
• Фигура b: не имеет параллельных сторон. Это не трапеция.
• Фигура c: является параллелограммом, у него две пары параллельных сторон, что противоречит определению.
• Фигура d: имеет одну пару параллельных сторон (основания). Это трапеция.
• Фигура e: является прямоугольником (частный случай параллелограмма), имеет две пары параллельных сторон.
• Фигура f: не имеет параллельных сторон.
• Фигура k: имеет одну пару параллельных сторон (вертикальные стороны). Это прямоугольная трапеция.
• Фигура m: является ромбом (частный случай параллелограмма), имеет две пары параллельных сторон.
• Фигура n: имеет одну пару параллельных сторон (верхнее и нижнее основания). Это трапеция.

Следовательно, трапециями являются фигуры a, d, k, n.

Ответ: a, d, k, n.

3) В задаче дано строгое определение трапеции, в котором указано, что две стороны должны быть параллельны, а две другие — не параллельны.

У параллелограмма по определению противолежащие стороны попарно параллельны, то есть он имеет две пары параллельных сторон. Это напрямую противоречит определению трапеции из задачи.

Прямоугольник, ромб и квадрат являются частными случаями параллелограмма, следовательно, у них у всех по две пары параллельных сторон.

Таким образом, согласно определению, данному в этом задании, ни одна из этих фигур не является трапецией.

Ответ: Нет, согласно определению, данному в задаче, ни параллелограмм, ни прямоугольник, ни ромб, ни квадрат не являются трапециями, так как у них две пары параллельных сторон, а не одна.

4) Для построения диаграммы Эйлера-Венна установим связи между множествами:

• $A$ = {четырёхугольники} — универсальное множество для данной задачи.
• $B$ = {трапеции} — подмножество $A$.
• $C$ = {параллелограммы} — подмножество $A$.
• $D$ = {прямоугольники} — все прямоугольники являются параллелограммами, поэтому $D \subset C$.
• $E$ = {ромбы} — все ромбы являются параллелограммами, поэтому $E \subset C$.
• $F$ = {квадраты} — квадраты являются одновременно прямоугольниками и ромбами, то есть $F = D \cap E$.

Важно, что по определению из пункта 1, у трапеции только одна пара параллельных сторон, а у параллелограмма — две. Это означает, что множества трапеций ($B$) и параллелограммов ($C$) не имеют общих элементов, то есть $B \cap C = \emptyset$.

Диаграмма будет устроена так: внутри большого множества $A$ (четырёхугольники) располагаются два отдельных, непересекающихся множества: $B$ (трапеции) и $C$ (параллелограммы). Внутри множества $C$ находятся пересекающиеся множества $D$ (прямоугольники) и $E$ (ромбы). Область их пересечения — это множество $F$ (квадраты).

Ответ: Диаграмма состоит из множества A (четырёхугольники), которое содержит два непересекающихся подмножества: B (трапеции) и C (параллелограммы). Множество C, в свою очередь, содержит подмножества D (прямоугольники) и E (ромбы), которые пересекаются. Область их пересечения является множеством F (квадраты), то есть $F = D \cap E$. Все множества B, C, D, E, F являются подмножествами A, при этом $B \cap C = \emptyset$.

5) Проанализировав чертёж трапеции $ABCD$, где основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны, можно выдвинуть следующую гипотезу.

Гипотеза: Сумма внутренних углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ это означает, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Проверка: Чтобы проверить гипотезу, нужно измерить углы с помощью транспортира. Для трапеции $ABCD$ на рисунке измерения дадут следующие примерные результаты:

• $\angle A \approx 63^\circ$, $\angle B \approx 117^\circ$. Сумма $\approx 180^\circ$.
• $\angle D \approx 63^\circ$, $\angle C \approx 117^\circ$. Сумма $\approx 180^\circ$.

Повторение этого эксперимента с двумя другими самостоятельно начерченными трапециями и измерение их углов также подтвердит, что сумма углов при боковой стороне близка к $180^\circ$ (небольшие отклонения могут быть вызваны погрешностью измерений).

Обобщение вывода: Нет, на основании нескольких измерений нельзя сделать абсолютно точный вывод, который будет справедлив для всех без исключения трапеций. Эксперимент в математике позволяет выдвинуть гипотезу, но не является строгим доказательством. Чтобы доказать, что это свойство выполняется для любой трапеции, необходимо использовать дедуктивное рассуждение, основанное на аксиомах геометрии. Это свойство является теоремой, которая доказывается с использованием свойства внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых (оснований трапеции) секущей (боковой стороной).

Ответ: Гипотеза: сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Проверка с помощью измерений на нескольких примерах подтверждает эту гипотезу. Однако на основании только нескольких измерений нельзя распространить полученный вывод на все трапеции; для этого требуется строгое математическое доказательство.