Номер 766, страница 167, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

766 Выполни действия и сократи получившиеся дроби $(a, b \in N)$:

1) $\frac{7}{3a} - \frac{8}{5a} + \frac{4}{15a}$

2) $\frac{1}{4} + \frac{4}{3b} + \frac{7}{12}$

1) $\frac{7}{3a} - \frac{8}{5a} + \frac{4}{15a}$

Чтобы выполнить действия с дробями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для знаменателей $3a$, $5a$ и $15a$ наименьшим общим знаменателем является $15a$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для дроби $\frac{7}{3a}$ дополнительный множитель равен $\frac{15a}{3a} = 5$. Для дроби $\frac{8}{5a}$ дополнительный множитель равен $\frac{15a}{5a} = 3$. Знаменатель третьей дроби $\frac{4}{15a}$ уже является общим.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$\frac{7 \cdot 5}{3a \cdot 5} - \frac{8 \cdot 3}{5a \cdot 3} + \frac{4}{15a} = \frac{35}{15a} - \frac{24}{15a} + \frac{4}{15a}$

Сложим и вычтем числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{35 - 24 + 4}{15a} = \frac{11 + 4}{15a} = \frac{15}{15a}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$\frac{15}{15a} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$.

2) $\frac{1}{4} + \frac{4}{3b} + \frac{7}{12}$

Для выполнения сложения приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $4$, $3b$, $12$. Наименьший общий знаменатель для них равен $12b$.

Найдем дополнительные множители. Для дроби $\frac{1}{4}$ множитель равен $\frac{12b}{4} = 3b$. Для дроби $\frac{4}{3b}$ множитель равен $\frac{12b}{3b} = 4$. Для дроби $\frac{7}{12}$ множитель равен $\frac{12b}{12} = b$.

Приведем дроби к общему знаменателю $12b$ и сложим их:

$\frac{1 \cdot 3b}{4 \cdot 3b} + \frac{4 \cdot 4}{3b \cdot 4} + \frac{7 \cdot b}{12 \cdot b} = \frac{3b}{12b} + \frac{16}{12b} + \frac{7b}{12b}$

Сложим числители:

$\frac{3b + 16 + 7b}{12b} = \frac{10b + 16}{12b}$

Сократим полученную дробь. Для этого вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(5b + 8)}{12b}$

Теперь разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{5b + 8}{6b}$

Ответ: $\frac{5b + 8}{6b}$.