Номер 771, страница 168, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

771 1) Сравни примеры (см. № 637):

$ (+5) + (-2) + (-4) + (+3) + (+1) + (-8) $ и $ 5 - 2 - 4 + 3 + 1 - 8. $

Что в них общего и чем они отличаются друг от друга?

2) Реши эти примеры с помощью числовой прямой. Какие перемещения по числовой прямой надо выполнить в том и другом случае? Какой способ записи удобнее?

3) Реши эти же примеры, используя понятия доходов и расходов. Зависит ли ответ от способа решения?

1)

Общее в этих примерах то, что они представляют собой алгебраическую сумму одних и тех же чисел с одинаковыми знаками: 5, -2, -4, 3, 1, -8. Фактически, это две разные формы записи одного и того же математического выражения, которое в обоих случаях даст одинаковый результат.

Отличаются они формой записи (нотацией). Первый пример, $(+5) + (-2) + (-4) + (+3) + (+1) + (-8)$, записан как сумма положительных и отрицательных чисел, где каждое число со своим знаком заключено в скобки. Это более подробная и формальная запись, которая явно показывает операцию сложения целых чисел.

Второй пример, $5 - 2 - 4 + 3 + 1 - 8$, является более краткой и общепринятой записью. Здесь опущены скобки и знаки плюса перед положительными числами (кроме первого, если оно стоит в начале и положительно). Операция сложения с отрицательным числом $+(-n)$ заменяется операцией вычитания $-n$.

Ответ: Общим является набор чисел и знаков, а значит, и конечный результат. Отличие заключается в форме записи: первая является подробной записью сложения целых чисел, а вторая — более краткой алгебраической суммой.

2)

Для решения обоих примеров на числовой прямой нужно выполнить одну и ту же последовательность перемещений, начиная от точки 0.

• $(+5)$ или $5$: перемещаемся из точки 0 на 5 единиц вправо, попадаем в точку 5.
• $+(-2)$ или $-2$: из точки 5 перемещаемся на 2 единицы влево, попадаем в точку $5 - 2 = 3$.
• $+(-4)$ или $-4$: из точки 3 перемещаемся на 4 единицы влево, попадаем в точку $3 - 4 = -1$.
• $+(+3)$ или $+3$: из точки -1 перемещаемся на 3 единицы вправо, попадаем в точку $-1 + 3 = 2$.
• $+(+1)$ или $+1$: из точки 2 перемещаемся на 1 единицу вправо, попадаем в точку $2 + 1 = 3$.
• $+(-8)$ или $-8$: из точки 3 перемещаемся на 8 единиц влево, попадаем в точку $3 - 8 = -5$.

Конечная точка перемещения — -5.

Перемещения по числовой прямой в обоих случаях абсолютно одинаковы: положительные числа (или знак "+") указывают на движение вправо, а отрицательные числа (или знак "-") — на движение влево.

Способ записи $5 - 2 - 4 + 3 + 1 - 8$ является более удобным, так как он более короткий и требует меньше символов, что упрощает и ускоряет запись и чтение выражения.

Ответ: Результат обоих примеров равен $-5$. Перемещения на числовой прямой идентичны для обоих выражений. Второй способ записи удобнее.

3)

Представим положительные числа как доходы, а отрицательные — как расходы.

Сначала сгруппируем и посчитаем все доходы:

$5 + 3 + 1 = 9$

Теперь сгруппируем и посчитаем все расходы:

$2 + 4 + 8 = 14$

Чтобы найти итоговый результат, нужно из общей суммы доходов вычесть общую сумму расходов:

$Итог = Доходы - Расходы = 9 - 14 = -5$

Результат $-5$ означает, что расходы превысили доходы на 5 единиц, то есть имеется дефицит или долг.

Ответ от способа решения не зависит. Независимо от того, используем ли мы числовую прямую, модель доходов и расходов или просто вычисляем алгебраическую сумму, результат будет одинаковым. Это демонстрирует фундаментальный принцип математики: результат не должен зависеть от метода его получения, если все методы верны.

Ответ: Результат равен $-5$. Ответ не зависит от способа решения.