Номер 767, страница 167, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

767 Найди методом перебора множество пар $(m, n)$ натуральных чисел, удов-

летворяющих равенству $\frac{5}{m} - \frac{n}{3} = \frac{1}{2}$.

Дано уравнение с двумя переменными $m$ и $n$, которые, по условию, являются натуральными числами (т.е. $m, n \in \{1, 2, 3, \dots\} $):

$ \frac{5}{m} - \frac{n}{3} = \frac{1}{2} $

Чтобы решить задачу методом перебора, необходимо сначала сузить диапазон возможных значений для одной из переменных. Давайте выразим $ \frac{n}{3} $ из уравнения:

$ \frac{n}{3} = \frac{5}{m} - \frac{1}{2} $

Так как $n$ — натуральное число, то $ n \ge 1 $. Это значит, что $ \frac{n}{3} \ge \frac{1}{3} $. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть не меньше $ \frac{1}{3} $:

$ \frac{5}{m} - \frac{1}{2} \ge \frac{1}{3} $

Решим это неравенство относительно $m$. Для этого перенесём $ \frac{1}{2} $ в правую часть:

$ \frac{5}{m} \ge \frac{1}{3} + \frac{1}{2} $

Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, получаем:

$ \frac{5}{m} \ge \frac{2+3}{6} \implies \frac{5}{m} \ge \frac{5}{6} $

Поскольку $m$ — натуральное число, оно строго положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на 5, а затем, так как дроби положительны, перевернуть их, изменив знак неравенства с $ \ge $ на $ \le $:

$ \frac{1}{m} \ge \frac{1}{6} \implies m \le 6 $

Таким образом, мы выяснили, что переменная $m$ может принимать только натуральные значения от 1 до 6 включительно. Теперь мы можем применить метод перебора для этих значений.

Выразим $n$ через $m$ из формулы $ \frac{n}{3} = \frac{5}{m} - \frac{1}{2} $:

$ n = 3 \left( \frac{5}{m} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15}{m} - \frac{3}{2} $

Теперь будем подставлять в это выражение значения $m$ от 1 до 6 и проверять, получается ли для $n$ натуральное число.

• При $ m = 1 $: $ n = \frac{15}{1} - \frac{3}{2} = 15 - 1.5 = 13.5 $. Не является натуральным числом.
• При $ m = 2 $: $ n = \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $. Является натуральным числом. Значит, пара $(2, 6)$ является решением.
• При $ m = 3 $: $ n = \frac{15}{3} - \frac{3}{2} = 5 - 1.5 = 3.5 $. Не является натуральным числом.
• При $ m = 4 $: $ n = \frac{15}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15 - 6}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 $. Не является натуральным числом.
• При $ m = 5 $: $ n = \frac{15}{5} - \frac{3}{2} = 3 - 1.5 = 1.5 $. Не является натуральным числом.
• При $ m = 6 $: $ n = \frac{15}{6} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $. Является натуральным числом. Значит, пара $(6, 1)$ является решением.

Итак, в результате перебора мы нашли две пары натуральных чисел, которые удовлетворяют заданному равенству. Это пары (2, 6) и (6, 1).

Ответ: $ \{(2, 6), (6, 1)\} $.