Номер 765, страница 167, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

765 Сократи дроби, если $a, b, c, d \in N$:

1) $\frac{18 \cdot 75 \cdot 49}{28 \cdot 35 \cdot 27}$;

2) $\frac{300 + 400 + 500}{400}$;

3) $\frac{36abc^2}{81a^3bc}$;

4) $\frac{24d}{24d - 8d}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{18 \cdot 75 \cdot 49}{28 \cdot 35 \cdot 27}$, разложим числа в числителе и знаменателе на множители и сократим общие.
$\frac{18 \cdot 75 \cdot 49}{28 \cdot 35 \cdot 27} = \frac{(2 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 25) \cdot (7 \cdot 7)}{(4 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9)}$
Сокращаем одинаковые множители ($9$, $3$, $7$, $7$):
$\frac{2 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{3} \cdot 25 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{7}}{(4 \cdot \cancel{7}) \cdot 5 \cdot \cancel{7} \cdot (\cancel{3} \cdot \cancel{9})} = \frac{2 \cdot 25}{4 \cdot 5}$
Вычисляем и сокращаем дальше:
$\frac{50}{20} = \frac{5 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{5}{2}$
Ответ: $\frac{5}{2}$

2) Сначала выполним сложение в числителе дроби $\frac{300 + 400 + 500}{400}$.
$300 + 400 + 500 = 1200$
Теперь подставим результат в дробь:
$\frac{1200}{400}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 400:
$\frac{1200 \div 400}{400 \div 400} = \frac{3}{1} = 3$
Ответ: $3$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{36abc^2}{81a^3bc}$, сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.
Сократим числовые коэффициенты:
$\frac{36}{81} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{4}{9}$
Сократим переменные, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a}{a^3} = a^{1-3} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$\frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1$
$\frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c^1 = c$
Объединим все части:
$\frac{36}{81} \cdot \frac{a}{a^3} \cdot \frac{b}{b} \cdot \frac{c^2}{c} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 1 \cdot c = \frac{4c}{9a^2}$
Ответ: $\frac{4c}{9a^2}$

4) Сначала упростим выражение в знаменателе дроби $\frac{24d}{24d - 8d}$.
$24d - 8d = (24-8)d = 16d$
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{24d}{16d}$
Поскольку по условию $d \in N$, то $d$ не равно нулю, и мы можем сократить $d$ в числителе и знаменателе:
$\frac{24\cancel{d}}{16\cancel{d}} = \frac{24}{16}$
Сократим полученную числовую дробь. Наибольший общий делитель чисел 24 и 16 равен 8:
$\frac{24 \div 8}{16 \div 8} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$