Номер 803, страница 173, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

803 Докажи, что данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши её в виде бесконечной периодической дроби, указав период, а затем округли с точностью до тысячных:

а) $ \frac{7}{12} $;

б) $ \frac{23}{18} $;

в) $ \frac{4}{11} $;

г) $ \frac{47}{36} $.

173

а) Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель в несократимой записи не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Дробь $\frac{7}{12}$ несократима, так как 7 и 12 взаимно просты. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Поскольку в разложении знаменателя есть множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Чтобы записать дробь в виде бесконечной периодической, выполним деление числителя на знаменатель столбиком:

$7 \div 12 = 0,5833...$

Запись в виде периодической дроби: $\frac{7}{12} = 0,58(3)$. Период дроби равен 3.

Для округления до тысячных (до третьего знака после запятой) смотрим на четвертый знак. В числе $0,5833...$ четвертый знак — это 3. Так как $3 < 5$, то предыдущую цифру не изменяем. Таким образом, $0,5833... \approx 0,583$.

Ответ: $0,58(3) \approx 0,583$.

б) Дробь $\frac{23}{18}$ несократима, так как 23 — простое число, а 18 на 23 не делится. Разложим знаменатель 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$. В разложении знаменателя присутствует множитель 3, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

Выполним деление $23$ на $18$:

$23 \div 18 = 1,2777...$

Запись в виде периодической дроби: $\frac{23}{18} = 1,2(7)$. Период дроби равен 7.

Округлим до тысячных. В числе $1,2777...$ четвертая цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, то предыдущую цифру (третью) увеличиваем на 1: $7+1=8$. Получаем $1,2777... \approx 1,278$.

Ответ: $1,2(7) \approx 1,278$.

в) Дробь $\frac{4}{11}$ несократима. Знаменатель 11 — простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

Выполним деление $4$ на $11$:

$4 \div 11 = 0,3636...$

Запись в виде периодической дроби: $\frac{4}{11} = 0,(36)$. Период дроби равен 36.

Округлим до тысячных. В числе $0,3636...$ четвертая цифра после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, то предыдущую цифру (третью) увеличиваем на 1: $3+1=4$. Получаем $0,3636... \approx 0,364$.

Ответ: $0,(36) \approx 0,364$.

г) Дробь $\frac{47}{36}$ несократима, так как 47 — простое число, а 36 на 47 не делится. Разложим знаменатель 36 на простые множители: $36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$. В разложении знаменателя присутствует множитель 3, поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной.

Выполним деление $47$ на $36$:

$47 \div 36 = 1,30555...$

Запись в виде периодической дроби: $\frac{47}{36} = 1,30(5)$. Период дроби равен 5.

Округлим до тысячных. В числе $1,30555...$ четвертая цифра после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то предыдущую цифру (третью) увеличиваем на 1: $5+1=6$. Получаем $1,30555... \approx 1,306$.

Ответ: $1,30(5) \approx 1,306$.