Номер 931, страница 197, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

931 Найди общие высказывания и высказывания о существовании. Докажи или опровергни их.

1) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной.

2) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной.

3) Дробь, знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только 2 и 5, можно представить в виде десятичной дроби.

4) Существует дробь, знаменатель которой делится на 3, но которую можно представить в виде десятичной.

5) Из двух десятичных дробей больше та дробь, у которой больше знаков после запятой.

6) Иногда приближение числа с точностью до 0,01 больше, чем его приближение с точностью до 0,001.

1)

Это общее высказывание, так как оно относится к "любой" десятичной дроби.

Докажем его. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. Например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $3.14 = \frac{314}{100}$. Любую бесконечную периодическую десятичную дробь также можно представить в виде обыкновенной. Например, чтобы представить $x = 0.(3) = 0.333...$ в виде обыкновенной дроби, умножим обе части на 10: $10x = 3.333...$. Теперь вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3.333... - 0.333...$, что дает $9x = 3$, откуда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Поскольку любая десятичная дробь является либо конечной, либо бесконечной периодической, и те, и другие можно представить в виде обыкновенной дроби. Высказывание верно.
Ответ: верно.

2)

Это общее высказывание, так как оно относится к "любой" обыкновенной дроби.

Опровергнем его. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если ее знаменатель после сокращения не содержит других простых делителей, кроме 2 и 5. Рассмотрим дробь $\frac{1}{3}$. Знаменатель 3 является простым числом, отличным от 2 и 5. При делении 1 на 3 в столбик мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0.333...$. Если под "представить в виде десятичной" понимать конечную десятичную дробь, то высказывание неверно.
Ответ: неверно.

3)

Это общее высказывание, так как оно относится к любому числу с указанным свойством.

Докажем его. Пусть дана несократимая дробь $\frac{a}{b}$, и знаменатель $b$ в разложении на простые множители содержит только 2 и 5, то есть $b = 2^n \cdot 5^m$. Чтобы представить эту дробь в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю, равному степени 10. Для этого домножим числитель и знаменатель на недостающие множители 2 или 5. Если $n > m$, домножим на $5^{n-m}$. Знаменатель станет $2^n \cdot 5^m \cdot 5^{n-m} = 2^n \cdot 5^n = 10^n$. Если $m > n$, домножим на $2^{m-n}$. Знаменатель станет $2^n \cdot 5^m \cdot 2^{m-n} = 2^m \cdot 5^m = 10^m$. В обоих случаях мы получаем дробь со знаменателем $10^k$, что и является конечной десятичной дробью. Высказывание верно.
Ответ: верно.

4)

Это высказывание о существовании, так как оно начинается со слова "Существует".

Докажем его, приведя пример. Требуется найти дробь, знаменатель которой делится на 3, но которую можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно, если дробь сократима и множитель 3 в знаменателе сокращается с числителем. Возьмем дробь $\frac{3}{6}$. Ее знаменатель 6 делится на 3. При этом дробь можно сократить: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. А дробь $\frac{1}{2}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби $0.5$. Таким образом, такая дробь существует. Высказывание верно.
Ответ: верно.

5)

Это общее высказывание, так как оно утверждает правило для "двух десятичных дробей".

Опровергнем его контрпримером. Сравним две дроби: $0.5$ и $0.456$. У дроби $0.5$ один знак после запятой, а у дроби $0.456$ - три знака. Согласно высказыванию, $0.456$ должно быть больше. Однако при сравнении десятичных дробей мы сравниваем их разряды поразрядно слева направо. Сравниваем разряд десятых: у первой дроби это 5, у второй - 4. Так как $5 > 4$, то $0.5 > 0.456$. Высказывание неверно.
Ответ: неверно.

6)

Это высказывание о существовании, так как слово "иногда" означает, что такое случается, то есть существует хотя бы один пример.

Докажем его, приведя пример. Возьмем число $x = 5.678$.

Найдем его приближение с точностью до 0,01 (до сотых). Для этого смотрим на разряд тысячных. Там стоит цифра 8. Так как $8 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону. Получаем $5.68$.

Теперь найдем его приближение с точностью до 0,001 (до тысячных). Так как число уже имеет три знака после запятой, его приближение до тысячных равно самому числу, то есть $5.678$.

Сравним полученные приближения: $5.68 > 5.678$. Таким образом, мы нашли пример, когда приближение с точностью до 0,01 больше, чем приближение с точностью до 0,001. Высказывание верно.
Ответ: верно.