Номер 935, страница 197, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

935 Что произойдёт с разностью двух чисел, если округлить:

а) уменьшаемое с избытком или с недостатком;

б) вычитаемое с избытком или с недостатком;

в) уменьшаемое и вычитаемое с избытком;

г) уменьшаемое и вычитаемое с недостатком;

д) уменьшаемое с избытком, а вычитаемое с недостатком;

е) уменьшаемое с недостатком, а вычитаемое с избытком? Приведи примеры.

а) уменьшаемое с избытком или с недостатком
Пусть исходная разность равна $d = a - b$, где $a$ – уменьшаемое, а $b$ – вычитаемое. Вычитаемое $b$ не изменяется.
Если округлить уменьшаемое $a$ с избытком, получится новое уменьшаемое $a'$, которое больше $a$ ($a' > a$). Новая разность будет $d' = a' - b$. Так как $a' > a$, то $a' - b > a - b$, следовательно, $d' > d$. Разность увеличится.
Если округлить уменьшаемое $a$ с недостатком, получится новое уменьшаемое $a''$, которое меньше $a$ ($a'' < a$). Новая разность будет $d'' = a'' - b$. Так как $a'' < a$, то $a'' - b < a - b$, следовательно, $d'' < d$. Разность уменьшится.
Пример: Возьмем разность $9.8 - 4 = 5.8$. Округлим уменьшаемое до целых.
Округление $9.8$ с избытком дает $10$. Новая разность: $10 - 4 = 6$. Разность увеличилась ($6 > 5.8$).
Округление $9.8$ с недостатком дает $9$. Новая разность: $9 - 4 = 5$. Разность уменьшилась ($5 < 5.8$).
Ответ: При округлении уменьшаемого с избытком разность увеличится, а при округлении с недостатком — уменьшится.

б) вычитаемое с избытком или с недостатком
Пусть исходная разность равна $d = a - b$. Уменьшаемое $a$ не изменяется.
Если округлить вычитаемое $b$ с избытком, получится новое вычитаемое $b'$, которое больше $b$ ($b' > b$). Новая разность будет $d' = a - b'$. Так как мы вычитаем большее число, результат будет меньше: $a - b' < a - b$, следовательно, $d' < d$. Разность уменьшится.
Если округлить вычитаемое $b$ с недостатком, получится новое вычитаемое $b''$, которое меньше $b$ ($b'' < b$). Новая разность будет $d'' = a - b''$. Так как мы вычитаем меньшее число, результат будет больше: $a - b'' > a - b$, следовательно, $d'' > d$. Разность увеличится.
Пример: Возьмем разность $15 - 7.3 = 7.7$. Округлим вычитаемое до целых.
Округление $7.3$ с избытком дает $8$. Новая разность: $15 - 8 = 7$. Разность уменьшилась ($7 < 7.7$).
Округление $7.3$ с недостатком дает $7$. Новая разность: $15 - 7 = 8$. Разность увеличилась ($8 > 7.7$).
Ответ: При округлении вычитаемого с избытком разность уменьшится, а при округлении с недостатком — увеличится.

в) уменьшаемое и вычитаемое с избытком
Пусть исходная разность $d = a - b$. При округлении с избытком получаем $a' > a$ и $b' > b$. Новая разность $d' = a' - b'$. Изменение разности равно $(a' - a) - (b' - b)$. Так как оба числа увеличились, итоговый результат зависит от того, какое из них увеличилось на большую величину. Разность может увеличиться, уменьшиться или не измениться.
Примеры: Округлим до целых с избытком.
1. $8.3 - 2.9 = 5.4$. Округленные значения: $a'=9$, $b'=3$. Новая разность: $9 - 3 = 6$. Разность увеличилась ($6 > 5.4$).
2. $8.9 - 2.3 = 6.6$. Округленные значения: $a'=9$, $b'=3$. Новая разность: $9 - 3 = 6$. Разность уменьшилась ($6 < 6.6$).
3. $8.7 - 2.7 = 6$. Округленные значения: $a'=9$, $b'=3$. Новая разность: $9 - 3 = 6$. Разность не изменилась.
Ответ: Разность может увеличиться, уменьшиться или не измениться.

г) уменьшаемое и вычитаемое с недостатком
Пусть исходная разность $d = a - b$. При округлении с недостатком получаем $a'' < a$ и $b'' < b$. Новая разность $d'' = a'' - b''$. Изменение разности равно $(b - b'') - (a - a'')$. Так как оба числа уменьшились, итоговый результат зависит от того, какое из них уменьшилось на большую величину. Разность может увеличиться, уменьшиться или не измениться.
Примеры: Округлим до целых с недостатком.
1. $8.3 - 2.9 = 5.4$. Округленные значения: $a''=8$, $b''=2$. Новая разность: $8 - 2 = 6$. Разность увеличилась ($6 > 5.4$).
2. $8.9 - 2.3 = 6.6$. Округленные значения: $a''=8$, $b''=2$. Новая разность: $8 - 2 = 6$. Разность уменьшилась ($6 < 6.6$).
3. $8.7 - 2.7 = 6$. Округленные значения: $a''=8$, $b''=2$. Новая разность: $8 - 2 = 6$. Разность не изменилась.
Ответ: Разность может увеличиться, уменьшиться или не измениться.

д) уменьшаемое с избытком, а вычитаемое с недостатком
Пусть исходная разность $d = a - b$. Округляем уменьшаемое $a$ с избытком ($a' > a$), а вычитаемое $b$ с недостатком ($b'' < b$). Новая разность $d' = a' - b''$. Мы увеличиваем уменьшаемое и уменьшаем вычитаемое. Оба этих действия приводят к увеличению разности. Таким образом, новая разность $d'$ всегда будет больше исходной $d$.
Пример: Возьмем разность $12.3 - 6.8 = 5.5$.
Округлим $12.3$ с избытком до $13$.
Округлим $6.8$ с недостатком до $6$.
Новая разность: $13 - 6 = 7$. Разность увеличилась ($7 > 5.5$).
Ответ: Разность всегда увеличивается.

е) уменьшаемое с недостатком, а вычитаемое с избытком
Пусть исходная разность $d = a - b$. Округляем уменьшаемое $a$ с недостатком ($a'' < a$), а вычитаемое $b$ с избытком ($b' > b$). Новая разность $d'' = a'' - b'$. Мы уменьшаем уменьшаемое и увеличиваем вычитаемое. Оба этих действия приводят к уменьшению разности. Таким образом, новая разность $d''$ всегда будет меньше исходной $d$.
Пример: Возьмем разность $12.3 - 6.8 = 5.5$.
Округлим $12.3$ с недостатком до $12$.
Округлим $6.8$ с избытком до $7$.
Новая разность: $12 - 7 = 5$. Разность уменьшилась ($5 < 5.5$).
Ответ: Разность всегда уменьшается.