Номер 938, страница 198, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

938 Бак наполняется через основной кран за 15 мин, а через запасной – за 25 мин. Сначала в течение 3 мин он наполнялся через основной кран, а затем дополнительно открыли запасной. За сколько времени был наполнен бак?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность (скорость наполнения) каждого крана и затем последовательно рассчитать, какая часть бака была наполнена на каждом этапе. Примем весь объем бака за 1.

1. Найдем производительность (скорость наполнения) каждого крана.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. В данном случае, это часть бака, наполняемая за 1 минуту.

Производительность основного крана: он наполняет весь бак за 15 минут, следовательно, его производительность $V_1 = \frac{1}{15}$ бака/мин.

Производительность запасного крана: он наполняет весь бак за 25 минут, следовательно, его производительность $V_2 = \frac{1}{25}$ бака/мин.

2. Рассчитаем, какая часть бака наполнилась за первые 3 минуты.

В течение первых 3 минут работал только основной кран. Объем воды, налитый за это время ($W_1$), равен произведению его производительности на время:

$W_1 = V_1 \times t_1 = \frac{1}{15} \times 3 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Таким образом, за первые 3 минуты была заполнена $\frac{1}{5}$ часть бака.

3. Определим, какую часть бака осталось наполнить.

Если весь бак — это 1, а $\frac{1}{5}$ уже наполнена, то оставшаяся для наполнения часть ($W_{ост}$) равна:

$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Осталось наполнить $\frac{4}{5}$ бака.

4. Найдем совместную производительность двух кранов.

Когда открыли второй кран, они стали работать вместе. Их совместная производительность ($V_{общ}$) равна сумме их индивидуальных производительностей:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{15} + \frac{1}{25}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 25 — это 75.

$V_{общ} = \frac{5}{75} + \frac{3}{75} = \frac{8}{75}$ бака/мин.

5. Рассчитаем время, необходимое для наполнения оставшейся части бака.

Чтобы найти время ($t_2$), нужно оставшийся объем ($W_{ост}$) разделить на совместную производительность ($V_{общ}$):

$t_2 = \frac{W_{ост}}{V_{общ}} = \frac{4/5}{8/75} = \frac{4}{5} \cdot \frac{75}{8} = \frac{4 \cdot 75}{5 \cdot 8} = \frac{300}{40} = 7,5$ минут.

6. Найдем общее время наполнения бака.

Общее время ($T_{общ}$) складывается из времени работы одного крана ($t_1$) и времени совместной работы двух кранов ($t_2$):

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ мин} + 7,5 \text{ мин} = 10,5$ минут.

Поскольку 0,5 минуты равны 30 секундам, общее время можно также записать как 10 минут 30 секунд.

Ответ: 10,5 минут.