Номер 939, страница 198, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

939 Построй математическую модель задачи и реши её методом перебора.

В школьном зале 80 стульев. Перед утренником их расставили в несколько рядов – поровну в каждом ряду. Затем было решено уменьшить число стульев в ряду на 4, при этом число рядов увеличилось на 1. Сколько стало рядов и сколько стульев в каждом новом ряду?

Построй математическую модель задачи

Пусть изначально было $x$ рядов, и в каждом ряду было $y$ стульев. Всего в зале 80 стульев. Произведение числа рядов на число стульев в ряду равно общему числу стульев. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$x \cdot y = 80$

Затем число стульев в ряду уменьшили на 4, то есть в каждом ряду стало $(y - 4)$ стула. При этом число рядов увеличилось на 1, то есть стало $(x + 1)$ ряд. Общее число стульев осталось прежним (80). Таким образом, мы получаем второе уравнение:

$(x + 1) \cdot (y - 4) = 80$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Поскольку $x$ и $y$ — это количество рядов и стульев, они должны быть натуральными (целыми положительными) числами. Также из условия $(y-4)$ следует, что количество стульев в новом ряду должно быть положительным, значит $y-4 > 0$, или $y > 4$.

Математическая модель задачи:

$\begin{cases} x \cdot y = 80 \\ (x + 1) \cdot (y - 4) = 80 \end{cases}$ , где $x, y \in \mathbb{N}$ и $y > 4$.

Реши её методом перебора

Из первого уравнения $x \cdot y = 80$ следует, что $x$ и $y$ являются натуральными делителями числа 80. Выпишем все пары натуральных чисел $(x, y)$, произведение которых равно 80, с учетом условия $y > 4$:

- Если $x=1$, то $y=80$.
- Если $x=2$, то $y=40$.
- Если $x=4$, то $y=20$.
- Если $x=5$, то $y=16$.
- Если $x=8$, то $y=10$.
- Если $x=10$, то $y=8$.
- Если $x=16$, то $y=5$.
(Пары, где $y \le 4$, такие как $(20, 4)$, $(40, 2)$, $(80, 1)$, не рассматриваем).

Теперь проверим, какая из этих пар удовлетворяет второму уравнению $(x + 1) \cdot (y - 4) = 80$.

1. Проверяем пару $(1, 80)$: $(1 + 1) \cdot (80 - 4) = 2 \cdot 76 = 152$. $152 \neq 80$. Не подходит.
2. Проверяем пару $(2, 40)$: $(2 + 1) \cdot (40 - 4) = 3 \cdot 36 = 108$. $108 \neq 80$. Не подходит.
3. Проверяем пару $(4, 20)$: $(4 + 1) \cdot (20 - 4) = 5 \cdot 16 = 80$. $80 = 80$. Подходит.
4. Проверяем пару $(5, 16)$: $(5 + 1) \cdot (16 - 4) = 6 \cdot 12 = 72$. $72 \neq 80$. Не подходит.
5. Проверяем пару $(8, 10)$: $(8 + 1) \cdot (10 - 4) = 9 \cdot 6 = 54$. $54 \neq 80$. Не подходит.
6. Проверяем пару $(10, 8)$: $(10 + 1) \cdot (8 - 4) = 11 \cdot 4 = 44$. $44 \neq 80$. Не подходит.
7. Проверяем пару $(16, 5)$: $(16 + 1) \cdot (5 - 4) = 17 \cdot 1 = 17$. $17 \neq 80$. Не подходит.

Единственное решение, которое мы нашли, соответствует начальным условиям: $x=4$ ряда и $y=20$ стульев в каждом ряду.

Вопрос задачи: «Сколько стало рядов и сколько стульев в каждом новом ряду?». Находим новые значения:

Число рядов стало: $x + 1 = 4 + 1 = 5$ рядов.
Число стульев в каждом новом ряду стало: $y - 4 = 20 - 4 = 16$ стульев.

Проверка: $5 \text{ рядов} \cdot 16 \text{ стульев/ряд} = 80 \text{ стульев}$. Верно.

Ответ: стало 5 рядов и 16 стульев в каждом новом ряду.