Номер 962, страница 202, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

962 Найди значение выражения (в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе):

а) $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \dots \cdot 0,00\dots01 \text{ (9 знаков)};$

б) $0,2 \cdot 0,02 \cdot 0,002 \cdot \dots \cdot 0,00\dots02 \text{ (9 знаков)};$

в) $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \dots \cdot 0,00\dots01 \text{ (99 знаков)};$

г) $0,1 \cdot 0,001 \cdot 0,00001 \cdot \dots \cdot 0,00\dots01 \text{ (99 знаков)};$

д) $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \dots \cdot 0,00\dots01 \text{ (999 знаков)}.$

а)

Заданное выражение представляет собой произведение десятичных дробей: $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \ldots \cdot 0,00...01$ (9 знаков).

Каждый множитель можно представить в виде степени числа 10. Количество знаков после запятой соответствует показателю степени с отрицательным знаком.

$0,1 = 10^{-1}$
$0,01 = 10^{-2}$
$0,001 = 10^{-3}$
...
Последний множитель имеет 9 знаков после запятой, следовательно, это $10^{-9}$.

Таким образом, выражение можно переписать как произведение степеней:

$10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} \cdot \ldots \cdot 10^{-9}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$10^{-1 - 2 - 3 - \ldots - 9} = 10^{-(1+2+3+\ldots+9)}$

Сумма натуральных чисел от 1 до 9 является суммой арифметической прогрессии, которую можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$, где $n=9$:

$1+2+3+\ldots+9 = \frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$

Следовательно, значение выражения равно $10^{-45}$. Это число, у которого после запятой 44 нуля и затем единица.
Ответ: $10^{-45}$.

б)

Выражение: $0,2 \cdot 0,02 \cdot 0,002 \cdot \ldots \cdot 0,00...02$ (9 знаков).

Каждый множитель можно представить как произведение числа 2 на степень 10:

$0,2 = 2 \cdot 10^{-1}$
$0,02 = 2 \cdot 10^{-2}$
$0,002 = 2 \cdot 10^{-3}$
...
Последний множитель с 9 знаками после запятой: $2 \cdot 10^{-9}$.

Всего в произведении 9 множителей (по количеству знаков после запятой от 1 до 9).

Перепишем выражение:

$(2 \cdot 10^{-1}) \cdot (2 \cdot 10^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^{-3}) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot 10^{-9})$

Сгруппируем множители 2 и степени 10:

$(2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2) \cdot (10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot \ldots \cdot 10^{-9})$

Произведение девяти двоек равно $2^9$.

$2^9 = 512$.

Произведение степеней десяти, как и в пункте а), равно $10^{-(1+2+\ldots+9)} = 10^{-45}$.

Таким образом, значение выражения равно $512 \cdot 10^{-45}$.
Ответ: $512 \cdot 10^{-45}$.

в)

Выражение: $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \ldots \cdot 0,00...01$ (99 знаков).

Это аналогично пункту а), но последовательность множителей доходит до $10^{-99}$.

Выражение равно:

$10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} \cdot \ldots \cdot 10^{-99} = 10^{-(1+2+3+\ldots+99)}$

Найдем сумму показателей, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ для $n=99$:

$1+2+3+\ldots+99 = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$

Следовательно, значение выражения равно $10^{-4950}$.
Ответ: $10^{-4950}$.

г)

Выражение: $0,1 \cdot 0,001 \cdot 0,00001 \cdot \ldots \cdot 0,00...01$ (99 знаков).

Представим множители в виде степеней 10. Количество знаков после запятой образует последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, ...

$0,1 = 10^{-1}$
$0,001 = 10^{-3}$
$0,00001 = 10^{-5}$
...
Последний множитель с 99 знаками после запятой: $10^{-99}$.

Выражение равно:

$10^{-1} \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-5} \cdot \ldots \cdot 10^{-99} = 10^{-(1+3+5+\ldots+99)}$

Нам нужно найти сумму нечетных чисел от 1 до 99. Это сумма членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=1$, разность $d=2$, и последний член $a_k=99$.

Сначала найдем количество членов в этой прогрессии, $k$. Формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

$99 = 1 + (k-1)2 \implies 98 = (k-1)2 \implies k-1=49 \implies k=50$.

Сумма первых $k$ нечетных чисел равна $k^2$. В нашем случае $k=50$, поэтому сумма равна $50^2 = 2500$.

Также можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $S_k = \frac{k(a_1+a_k)}{2} = \frac{50(1+99)}{2} = \frac{50 \cdot 100}{2} = 2500$.

Значение выражения равно $10^{-2500}$.
Ответ: $10^{-2500}$.

д)

Выражение: $0,1 \cdot 0,01 \cdot 0,001 \cdot \ldots \cdot 0,00...01$ (999 знаков).

Задача аналогична пунктам а) и в). Множители идут от $10^{-1}$ до $10^{-999}$.

Выражение равно:

$10^{-1} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} \cdot \ldots \cdot 10^{-999} = 10^{-(1+2+3+\ldots+999)}$

Найдем сумму показателей, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ для $n=999$:

$1+2+3+\ldots+999 = \frac{999(999+1)}{2} = \frac{999 \cdot 1000}{2} = 999 \cdot 500 = 499500$

Следовательно, значение выражения равно $10^{-499500}$.
Ответ: $10^{-499500}$.