Номер 4.160, страница 152, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

24. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.160, страница 152.

4.160 Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей.

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?

б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.

1. Вычислим объём всего параллелепипеда (составного).
Его измерения: длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h = 12$ см.
$V_{общий} = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 840 \text{ см}^3$.

2. Вычислим объёмы его частей.
- Фиолетовая часть (нижняя): длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h_1 = 8$ см.
$V_1 = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 560 \text{ см}^3$.
- Зелёная часть (верхняя): длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h_2 = 4$ см.
$V_2 = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 280 \text{ см}^3$.

3. Сравним объём всего параллелепипеда с суммой объёмов его частей.
Сумма объёмов частей: $V_{сумма} = V_1 + V_2 = 560 \text{ см}^3 + 280 \text{ см}^3 = 840 \text{ см}^3$.
$V_{общий} = V_{сумма}$, так как $840 \text{ см}^3 = 840 \text{ см}^3$.

Ответ: Объём всего параллелепипеда равен $840 \text{ см}^3$. Объёмы его частей равны $560 \text{ см}^3$ и $280 \text{ см}^3$. Объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей.

б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(lw + lh + wh)$.

1. Вычислим площадь поверхности всего параллелепипеда (составного).
$S_{общая} = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 12 + 7 \cdot 12) = 2 \cdot (70 + 120 + 84) = 2 \cdot 274 = 548 \text{ см}^2$.

2. Вычислим площади поверхностей его частей.
- Фиолетовая часть (нижняя):
$S_1 = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 8 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot (70 + 80 + 56) = 2 \cdot 206 = 412 \text{ см}^2$.
- Зелёная часть (верхняя):
$S_2 = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4) = 2 \cdot (70 + 40 + 28) = 2 \cdot 138 = 276 \text{ см}^2$.

3. Сравним площадь поверхности всего параллелепипеда с суммой площадей поверхностей его частей.
Сумма площадей поверхностей частей: $S_{сумма} = S_1 + S_2 = 412 \text{ см}^2 + 276 \text{ см}^2 = 688 \text{ см}^2$.
$S_{общая} \neq S_{сумма}$, так как $548 \text{ см}^2 \neq 688 \text{ см}^2$. Сумма площадей поверхностей частей больше.

Объяснение:
Площадь поверхности целого параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей его частей, потому что при разделении целого объекта на части образуются две новые внутренние поверхности в месте разреза. В данном случае это верхняя грань фиолетового параллелепипеда и нижняя грань зелёного. Эти грани соприкасаются друг с другом, когда параллелепипед собран, и не являются частью его внешней поверхности. При расчёте суммы площадей частей мы учитываем площади этих двух "внутренних" граней.
Площадь каждой из этих граней равна $10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 70 \text{ см}^2$.
Суммарная площадь этих двух внутренних граней равна $2 \cdot 70 \text{ см}^2 = 140 \text{ см}^2$.
Именно на эту величину сумма площадей поверхностей частей больше площади поверхности исходного параллелепипеда: $688 \text{ см}^2 - 548 \text{ см}^2 = 140 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь поверхности всего параллелепипеда равна $548 \text{ см}^2$. Площади поверхностей его частей равны $412 \text{ см}^2$ и $276 \text{ см}^2$. Сумма площадей поверхностей частей ($688 \text{ см}^2$) не равна площади поверхности целого параллелепипеда. Это происходит потому, что при разделении целого объекта на части возникают новые поверхности (внутренние грани), площадь которых учитывается в сумме площадей частей, но не входит в площадь поверхности исходного объекта.