Номер 5.383, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

35. Приведение дробей к общему знаменателю. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.383, страница 64.

5.383 Найдите количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9. Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?

Количество чётных пятизначных чисел

Для составления пятизначных чисел нам дан набор цифр: $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$. Будем считать, что цифры в числе могут повторяться, так как в условии не указано иное.

Пятизначное число состоит из пяти цифр. Чтобы число было пятизначным, его первая цифра не может быть нулём. Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной.

Рассмотрим количество вариантов для каждой позиции в числе:

Первая цифра: на этом месте может стоять любая цифра из данного набора, кроме 0. Доступные цифры: $\{1, 4, 7, 8, 9\}$. Таким образом, есть 5 вариантов для первой цифры.

Вторая, третья и четвёртая цифры: на этих местах может стоять любая из 6 данных цифр $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$. Это даёт по 6 вариантов для каждой из этих трёх позиций.

Пятая цифра: для того чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Из нашего набора чётными являются $\{0, 4, 8\}$. Следовательно, для последней цифры есть 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чётных пятизначных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции: $N = 5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 5 \times 6^3 \times 3 = 15 \times 216 = 3240$.

Ответ: можно составить 3240 чётных пятизначных чисел.

Есть ли среди них числа, кратные пяти

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Мы ищем числа, которые являются одновременно чётными и кратными пяти.

Условие чётности для нашего набора цифр требует, чтобы последняя цифра была из множества $\{0, 4, 8\}$. Условие кратности пяти требует, чтобы последняя цифра была из множества $\{0, 5\}$.

Для выполнения обоих условий одновременно последняя цифра числа должна принадлежать пересечению этих множеств, то есть должна быть $\{0\}$.

Следовательно, нам нужно проверить, существуют ли чётные пятизначные числа, составленные из данных цифр, которые оканчиваются на 0. Для ответа на вопрос "есть ли" достаточно найти хотя бы один пример или посчитать их общее количество.

Найдём количество таких чисел. Первая цифра не может быть 0 (5 вариантов), вторая, третья и четвёртая могут быть любыми из 6 данных цифр, а последняя цифра должна быть 0 (1 вариант). Количество таких чисел равно: $5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 1 = 1080$.

Поскольку можно составить 1080 таких чисел, они существуют. Например, число 11100. Оно пятизначное, чётное, кратное пяти, и все его цифры $\{1, 0\}$ есть в исходном наборе.

Ответ: Да, есть.

Есть ли среди них числа, кратные девяти

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Нам нужно определить, существует ли хотя бы одно чётное пятизначное число, составленное из цифр $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$, сумма цифр которого кратна 9.

Для доказательства существования достаточно привести один пример.

Рассмотрим число 10008.

• Оно пятизначное.
• Оно чётное, так как оканчивается на 8.
• Все его цифры (1, 0, 8) принадлежат заданному набору.
• Сумма его цифр равна $1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9$. Поскольку 9 делится на 9, число 10008 кратно 9.

Другой пример: число 90000. Оно чётное (оканчивается на 0), состоит из цифр 9 и 0 из набора, а сумма цифр $9+0+0+0+0=9$ кратна 9.

Так как мы смогли найти примеры чисел, удовлетворяющих всем условиям, то такие числа существуют.

Ответ: Да, есть.