Номер 5.415, страница 68, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

36. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.415, страница 68.

5.415 Вычислите:

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для выражения $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Знаменатели дробей: 2, 4, 8. Наименьшее общее кратное для этих чисел — 8.
Приведем каждую дробь к знаменателю 8, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $8 \div 2 = 4$, получаем $\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$.
Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $8 \div 4 = 2$, получаем $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Дробь $\frac{5}{8}$ уже имеет знаменатель 8.
Теперь выполним сложение:
$\frac{4}{8} + \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4+6+5}{8} = \frac{15}{8}$.
Полученная дробь — неправильная. Выделим из нее целую часть:
$\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.
Ответ: $1\frac{7}{8}$

б) Для выражения $\frac{23}{24} - \frac{5}{12} - \frac{1}{6}$ нужно привести дроби к общему знаменателю. НОЗ для 24, 12 и 6 равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{23}{24} - \frac{10}{24} - \frac{4}{24} = \frac{23 - 10 - 4}{24} = \frac{9}{24}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 9 и 24 равен 3:
$\frac{9 \div 3}{24 \div 3} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

в) Для выражения $\frac{5}{8} + \frac{1}{3} + \frac{7}{12}$ найдем общий знаменатель. НОЗ для 8, 3 и 12 равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$.
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{15}{24} + \frac{8}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15+8+14}{24} = \frac{37}{24}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{37}{24} = 1\frac{13}{24}$.
Ответ: $1\frac{13}{24}$

г) В выражении $\frac{5}{6} - \frac{1}{8} + \frac{5}{12}$ найдем общий знаменатель для 6, 8 и 12. НОЗ равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.
Выполним действия:
$\frac{20}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{20 - 3 + 10}{24} = \frac{27}{24}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{27 \div 3}{24 \div 3} = \frac{9}{8}$.
Выделим целую часть: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $1\frac{1}{8}$

д) В выражении $3\frac{5}{7} + 4\frac{9}{14} - 2\frac{5}{21}$ можно выполнять действия с целыми и дробными частями отдельно.
Действия с целыми частями: $3 + 4 - 2 = 5$.
Действия с дробными частями: $\frac{5}{7} + \frac{9}{14} - \frac{5}{21}$.
Общий знаменатель для 7, 14, 21 — это 42.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}$.
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$.
$\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{10}{42}$.
Теперь выполним действия с дробями:
$\frac{30}{42} + \frac{27}{42} - \frac{10}{42} = \frac{30+27-10}{42} = \frac{47}{42}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{47}{42} = 1\frac{5}{42}$.
Сложим результат целой части и результат дробной части: $5 + 1\frac{5}{42} = 6\frac{5}{42}$.
Ответ: $6\frac{5}{42}$

е) В выражении $2\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - 1\frac{1}{8}$ сгруппируем целые и дробные части: $(2 - 1) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8})$.
Вычислим разность целых частей: $2 - 1 = 1$.
Теперь выполним действия с дробными частями: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8}$.
Общий знаменатель для 3, 5, 8 — это их произведение, так как они попарно взаимно просты: $3 \cdot 5 \cdot 8 = 120$.
Приведем дроби к знаменателю 120:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 40}{3 \cdot 40} = \frac{40}{120}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{24}{120}$.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{15}{120}$.
Выполним действия с дробями:
$\frac{40}{120} + \frac{24}{120} - \frac{15}{120} = \frac{40+24-15}{120} = \frac{49}{120}$.
Сложим результат целой и дробной частей: $1 + \frac{49}{120} = 1\frac{49}{120}$.
Ответ: $1\frac{49}{120}$