Номер 6.207, страница 122, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

45. Умножение десятичной дроби на натуральное число. § 6. Десятичные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 6.207, страница 122.

6.207 Какие цифры заменены прямоугольниками?

а)

В данном примере выполняется умножение трехзначного числа `5¦4` на двузначное число `3¦`.

Обозначим неизвестные цифры переменными. Пусть первый множитель равен $5A4$, а второй – $3B$.

При умножении в столбик сначала $5A4$ умножается на цифру единиц второго множителя, то есть на $B$. Результатом является первое неполное произведение, которое в задании выглядит как `¦64`. $$ 5A4 \times B = ¦64 $$ Последняя цифра этого произведения равна 4. Она получается умножением последней цифры первого множителя (4) на $B$. Значит, произведение $4 \times B$ должно оканчиваться на 4. Перебирая варианты для $B$ от 0 до 9, находим, что это возможно, если $B=1$ ($4 \times 1 = 4$) или $B=6$ ($4 \times 6 = 24$).

Рассмотрим оба случая:

1. Если $B=6$, то первое неполное произведение будет $5A4 \times 6$. Самое меньшее значение этого произведения будет при $A=0$: $504 \times 6 = 3024$. Это четырехзначное число. Однако в условии первое неполное произведение `¦64` — трехзначное. Следовательно, вариант $B=6$ не подходит.
2. Если $B=1$, то первое неполное произведение равно $5A4 \times 1 = 5A4$. По условию это произведение равно `¦64`. Сравнивая $5A4$ и `¦64`, мы видим, что цифра десятков $A$ должна быть равна 6, а первая цифра произведения равна 5.

Таким образом, мы определили, что первый множитель — это 564, а второй — 31. Проверим, выполнив умножение полностью:

Первое неполное произведение: $564 \times 1 = 564$. Это соответствует `¦64` (первая цифра 5).

Второе неполное произведение: $564 \times 3 = 1692$. Это соответствует `¦¦¦¦`.

Сложим неполные произведения для получения окончательного ответа:

 564? 31------ 564+1692------ 17484

Все сходится с шаблоном в задании. Замененные цифры найдены.

Ответ: Исходный пример выглядит так:

 564? 31------ 564 1692------ 17484

б)

В этом примере трехзначное число 416 умножается на другое трехзначное число `¦¦¦`.

Обозначим неизвестный множитель как $XYZ$.

Первое неполное произведение равно $416 \times Z = ¦¦80$. Произведение оканчивается на 0. Это возможно, если произведение $6 \times Z$ оканчивается на 0. Следовательно, $Z=5$ (так как $Z=0$ дало бы результат 0, а не `¦¦80`). Проверяем: $416 \times 5 = 2080$. Это четырехзначное число, соответствующее шаблону `¦¦80`.

Второе неполное произведение равно $416 \times Y = ¦64$. В условии оно представлено как трехзначное число. Найдем, при каких $Y$ произведение $6 \times Y$ оканчивается на 4. Это возможно при $Y=4$ ($6 \times 4 = 24$) или $Y=9$ ($6 \times 9 = 54$). Рассчитаем произведения: $416 \times 4 = 1664$ $416 \times 9 = 3744$ Оба результата — четырехзначные числа. Однако в условии второе неполное произведение `¦64` — трехзначное. Это указывает на ошибку в условии задачи, так как произведение 416 на любую ненулевую цифру не может быть трехзначным числом (минимальное $416 \times 1 = 416$, которое не оканчивается на 4).

Предположим, что в условии допущена опечатка, и неполные произведения `¦64` на самом деле должны быть четырехзначными: `¦¦64`. С этим предположением продолжим решение.

Нам нужно, чтобы $416 \times Y$ было числом вида `¦¦64`.

• При $Y=4$, произведение равно $1664$. Цифра в разряде десятков равна 6, что совпадает с шаблоном `¦¦64`.
• При $Y=9$, произведение равно $3744$. Цифра в разряде десятков равна 4, что не совпадает с шаблоном `¦¦64`.

Следовательно, единственно возможный вариант — это $Y=4$.

Третье неполное произведение $416 \times X$ также имеет вид `¦64`. Повторяя те же рассуждения, приходим к выводу, что $X=4$.

Таким образом, неизвестный множитель — это 445. Выполним полную проверку умножения $416 \times 445$:

 416? 445------ 2080 (416 ? 5) 1664 (416 ? 4)+1664 (416 ? 4)------ 185120

Полученный результат — шестизначное число, что соответствует шаблону `¦¦¦¦¦¦`. Решение, основанное на исправлении опечатки, является последовательным.

Ответ: В условии, вероятно, допущена опечатка. Исправленный и решенный пример выглядит так:

 416? 445------ 2080 16641664------ 185120