номер 1207, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1207. На рисунке 163 изображено движение двух автомобилей. Используя рисунок 163, составьте вопросы и ответьте на них.

$\text{v}$, км/ч

II

I

$\text{t}$, ч

Рис. 163

1. Каковы начальные скорости автомобилей I и II?

Чтобы определить начальную скорость каждого автомобиля, необходимо найти значение скорости v на оси ординат в момент времени t = 0.

Для автомобиля I (линия I) график начинается в точке (0; 90). Следовательно, его начальная скорость $v_{0I}$ = 90 км/ч.

Для автомобиля II (линия II) график начинается в точке (0; 60). Следовательно, его начальная скорость $v_{0II}$ = 60 км/ч.

Ответ: начальная скорость автомобиля I — 90 км/ч, начальная скорость автомобиля II — 60 км/ч.

2. С каким ускорением двигался каждый автомобиль?

Так как графики скорости — это прямые линии, движение обоих автомобилей является равноускоренным. Ускорение a можно найти как отношение изменения скорости $\Delta v$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$.

Для автомобиля I выберем на графике две точки, например, (0; 90) и (6; 120).

$a_I = \frac{120 \text{ км/ч} - 90 \text{ км/ч}}{6 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = \frac{30}{6} = 5$ км/ч².

Для автомобиля II выберем на графике две точки, например, (0; 60) и (4; 120).

$a_{II} = \frac{120 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч}}{4 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = \frac{60}{4} = 15$ км/ч².

Ответ: ускорение автомобиля I равно 5 км/ч², ускорение автомобиля II равно 15 км/ч².

3. В какой момент времени скорости автомобилей сравнялись и какова была эта скорость?

Скорости автомобилей равны в точке пересечения их графиков. Чтобы найти эту точку, можно составить и решить систему уравнений скоростей для каждого автомобиля. Уравнение скорости для равноускоренного движения имеет вид $v(t) = v_0 + at$.

Для автомобиля I: $v_I(t) = 90 + 5t$.

Для автомобиля II: $v_{II}(t) = 60 + 15t$.

Приравняем выражения для скоростей, чтобы найти время t, когда они станут равны:

$90 + 5t = 60 + 15t$

$90 - 60 = 15t - 5t$

$30 = 10t$

$t = 3$ ч.

Теперь найдем значение скорости в этот момент времени, подставив $t = 3$ в любое из уравнений:

$v = 90 + 5 \cdot 3 = 90 + 15 = 105$ км/ч.

Проверка по второму уравнению:

$v = 60 + 15 \cdot 3 = 60 + 45 = 105$ км/ч.

Ответ: скорости автомобилей сравнялись через 3 часа после начала движения; в этот момент их скорость составляла 105 км/ч.

4. Какой путь прошел каждый автомобиль за первые 4 часа движения?

Путь, пройденный при равноускоренном движении, можно найти по формуле $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Также путь численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$. Для прямолинейного графика это площадь трапеции.

Для автомобиля I за $t = 4$ ч:

$S_I = v_{0I} t + \frac{a_I t^2}{2} = 90 \cdot 4 + \frac{5 \cdot 4^2}{2} = 360 + \frac{5 \cdot 16}{2} = 360 + 40 = 400$ км.

Для автомобиля II за $t = 4$ ч:

$S_{II} = v_{0II} t + \frac{a_{II} t^2}{2} = 60 \cdot 4 + \frac{15 \cdot 4^2}{2} = 240 + \frac{15 \cdot 16}{2} = 240 + 120 = 360$ км.

Ответ: за первые 4 часа автомобиль I прошел 400 км, а автомобиль II — 360 км.