номер 1238, страница 148, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1238. Докажите, что имеет бесконечное множество решений система уравнений:

1) $\begin{cases} 4x + 5y = 1,5, \\ 8x + 10y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1,2x - 1,7y = -4,4, \\ -6x + 8,5y = 22. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x + 5y = 1,5, \\ 8x + 10y = 3. \end{cases}$

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на ненулевое число. Это равносильно пропорциональности всех соответствующих коэффициентов. Проверим это условие. Сравним отношения коэффициентов при $\text{x}$, при $\text{y}$ и свободных членов:

Отношение коэффициентов при $\text{x}$: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Отношение коэффициентов при $\text{y}$: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Отношение свободных членов: $\frac{1,5}{3} = \frac{1}{2}$

Поскольку все отношения равны ($\frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1,5}{3}$), второе уравнение является результатом умножения первого на 2. Это означает, что уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую на плоскости. Любая точка этой прямой является решением, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Доказано, что система имеет бесконечное множество решений.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 1,2x - 1,7y = -4,4, \\ -6x + 8,5y = 22. \end{cases}$

Как и в предыдущем пункте, докажем, что система имеет бесконечное множество решений, проверив пропорциональность коэффициентов.

Найдем отношения соответствующих коэффициентов:

Отношение коэффициентов при $\text{x}$: $\frac{1,2}{-6} = -\frac{12}{60} = -\frac{1}{5}$

Отношение коэффициентов при $\text{y}$: $\frac{-1,7}{8,5} = -\frac{17}{85} = -\frac{1}{5}$

Отношение свободных членов: $\frac{-4,4}{22} = -\frac{44}{220} = -\frac{1}{5}$

Все отношения равны $-\frac{1}{5}$. Это означает, что второе уравнение можно получить из первого, умножив его на -5. Следовательно, уравнения линейно зависимы, и система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Доказано, что система имеет бесконечное множество решений.