номер 3, страница 148, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Какие две системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются равносильными?

Две системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Другими словами, любая пара чисел, являющаяся решением одной системы, является решением и другой системы, и наоборот.

Это определение означает, что:

• Если первая система имеет единственное решение (например, пару чисел $(x_0, y_0)$), то и вторая система должна иметь то же самое единственное решение.
• Если первая система не имеет решений, то и вторая система не должна иметь решений. В этом случае множества решений обеих систем пусты и, следовательно, равны.
• Если первая система имеет бесконечно много решений, то и вторая система должна иметь то же самое бесконечное множество решений.

Рассмотрим пример.

Система 1:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Решив эту систему (например, методом сложения), получим: $(x+y) + (x-y) = 5+1$, что дает $2x=6$, то есть $x=3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, получим $3+y=5$, откуда $y=2$. Решением является пара чисел $(3, 2)$.

Теперь рассмотрим Систему 2, которая выглядит иначе:

$\begin{cases} 2x + 2y = 10 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

Первое уравнение этой системы получено умножением первого уравнения из Системы 1 на 2. Второе уравнение можно получить, умножив второе уравнение Системы 1 на 2 и прибавив к нему первое: $2(x-y) + (x+y) = 2(1) + 5 \Rightarrow 2x-2y+x+y = 2+5 \Rightarrow 3x-y=7$.

Решим Систему 2. Из первого уравнения $2(x+y)=10 \Rightarrow x+y=5$. Сложим это уравнение со вторым уравнением системы: $(x+y) + (3x-y) = 5+7$, что дает $4x=12$, то есть $x=3$. Подставив $x=3$ в уравнение $x+y=5$, получим $3+y=5$, откуда $y=2$. Решением также является пара $(3, 2)$.

Поскольку обе системы имеют одно и то же множество решений, состоящее из единственной пары чисел $(3, 2)$, эти системы являются равносильными.

Ответ: Две системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. То есть каждое решение первой системы является решением второй, и каждое решение второй системы является решением первой.