номер 1, страница 148, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для чего нужны системы двух уравнений с двумя переменными?

1. Системы двух уравнений с двумя переменными являются фундаментальным математическим инструментом, предназначенным для решения задач, в которых присутствуют две неизвестные величины, связанные между собой двумя различными условиями (ограничениями). В реальной жизни и науке часто возникают ситуации, когда одного условия недостаточно для однозначного определения искомых величин, и требуется учесть несколько взаимосвязей одновременно.

Основная идея состоит в том, что одно уравнение с двумя переменными, например, $x + y = 10$, имеет бесконечное множество решений. Геометрически все эти решения (пары чисел $\text{x}$ и $\text{y}$) образуют прямую на координатной плоскости. Чтобы найти конкретную пару значений, необходимо второе независимое условие, которое задается вторым уравнением. Решением системы является пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет каждому из уравнений. Геометрически это соответствует нахождению точки пересечения двух прямых.

Пример практической задачи:

Допустим, в магазине было куплено 2 кг яблок и 3 кг груш, за что заплатили 480 рублей. В другой раз было куплено 4 кг яблок и 2 кг груш, и общая стоимость составила 640 рублей. Необходимо найти цену за 1 кг яблок и 1 кг груш.

Обозначим цену 1 кг яблок как $\text{x}$ (рублей), а цену 1 кг груш как $\text{y}$ (рублей). Исходя из условий задачи, можно составить систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 480 \\ 4x + 2y = 640 \end{cases} $

Эту систему можно решить, например, методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $\text{x}$ стали противоположными:

$ \begin{cases} -4x - 6y = -960 \\ 4x + 2y = 640 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(-4x + 4x) + (-6y + 2y) = -960 + 640$

$-4y = -320$

$y = 80$

Мы нашли цену груш: 80 рублей за кг. Теперь подставим это значение в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$4x + 2(80) = 640$

$4x + 160 = 640$

$4x = 480$

$x = 120$

Таким образом, цена яблок — 120 рублей за кг, а цена груш — 80 рублей за кг. Без использования системы уравнений найти эти значения было бы значительно сложнее.

Применение в различных областях:

Системы уравнений широко применяются для моделирования процессов в различных сферах. В физике они используются для расчета траекторий, скоростей и сил при взаимодействии объектов. В экономике — для анализа спроса и предложения и нахождения точки рыночного равновесия. В химии — для расчета пропорций веществ в смесях и растворах. В геометрии — для нахождения координат точек пересечения линий. В информатике и инженерии — в компьютерной графике, логистике и при проектировании сложных систем. Таким образом, системы уравнений — это универсальный язык для описания и решения задач с несколькими взаимосвязанными неизвестными.

Ответ: Системы двух уравнений с двумя переменными необходимы для нахождения конкретных значений двух неизвестных величин, когда эти величины связаны друг с другом двумя независимыми условиями; они позволяют моделировать и решать практические задачи из самых разных областей науки и техники.