номер 2, страница 148, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Что является решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое из уравнений системы получаются верные числовые равенства.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\text{x}$ и $\text{y}$ в общем виде записывается так:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Здесь $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — это заданные числа (коэффициенты), а $\text{x}$ и $\text{y}$ — переменные, значения которых нужно найти. Пара чисел $(x_0, y_0)$ будет решением этой системы, если при подстановке $x = x_0$ и $y = y_0$ оба уравнения превратятся в верные равенства:

$a_1x_0 + b_1y_0 = c_1$

$a_2x_0 + b_2y_0 = c_2$

Геометрически каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую на координатной плоскости. Таким образом, решение системы — это нахождение координат точки пересечения двух прямых. В зависимости от их взаимного расположения возможны три случая:

• Система имеет одно решение. Это происходит, когда прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются единственным решением системы. Условие: коэффициенты при переменных не пропорциональны, $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.
• Система не имеет решений. Это происходит, когда прямые параллельны и не совпадают. У них нет общих точек, следовательно, решений у системы нет. Условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда прямые совпадают. Все точки этой прямой являются решениями системы. Условие: все коэффициенты пропорциональны, $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Таким образом, решить систему — это найти все пары чисел, которые удовлетворяют обоим уравнениям, или доказать, что таких пар нет.

Ответ: Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая удовлетворяет одновременно каждому уравнению системы.