номер 1239, страница 149, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1239. Равносильны ли системы:

1) $\begin{cases} 6x-8y-1,2=0, \\ 3x+5y-0,2=0 \end{cases}$ и $\begin{cases} 3x=0,6+4y, \\ 15x=-1-25y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10x-7y-1=0, \\ -1,2y+6x+5=0 \end{cases}$ и $\begin{cases} 0,7y = x-0,1, \\ y = 5x + 4\frac{1}{6} \end{cases}$?

1)

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность, можно преобразовать уравнения обеих систем к одному и тому же виду, например, к стандартному виду $Ax+By+C=0$, и сравнить их.

Рассмотрим первую систему:

$$ \begin{cases} 6x - 8y - 1,2 = 0 \\ 3x + 5y - 0,2 = 0 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения этой системы. Разделим первое уравнение на 2:

$(6x - 8y - 1,2) \div 2 = 0 \div 2 \implies 3x - 4y - 0,6 = 0$

Это будет первое уравнение для сравнения.

Теперь рассмотрим вторую систему:

$$ \begin{cases} 3x = 0,6 + 4y \\ 15x = -1 - 25y \end{cases} $$

Преобразуем ее уравнения к стандартному виду.

Первое уравнение:

$3x = 0,6 + 4y \implies 3x - 4y - 0,6 = 0$

Второе уравнение:

$15x = -1 - 25y \implies 15x + 25y + 1 = 0$

Таким образом, вторая система равносильна системе:

$$ \begin{cases} 3x - 4y - 0,6 = 0 \\ 15x + 25y + 1 = 0 \end{cases} $$

Теперь вернемся к первой системе и посмотрим на ее второе уравнение: $3x + 5y - 0,2 = 0$. Умножим его на 5, чтобы получить коэффициент 15 при $\text{x}$ для сравнения со вторым уравнением второй системы:

$5 \cdot (3x + 5y - 0,2) = 5 \cdot 0 \implies 15x + 25y - 1 = 0$

Итак, первая система равносильна системе:

$$ \begin{cases} 3x - 4y - 0,6 = 0 \\ 15x + 25y - 1 = 0 \end{cases} $$

Сравним полученные равносильные системы. Первые уравнения ($3x - 4y - 0,6 = 0$) совпадают. Однако вторые уравнения отличаются: $15x + 25y - 1 = 0$ и $15x + 25y + 1 = 0$. Из первого уравнения следует, что $15x + 25y = 1$, а из второго, что $15x + 25y = -1$. Так как $1 \neq -1$, эти уравнения не являются равносильными. Следовательно, и исходные системы не равносильны, так как у них будут разные решения.

Ответ: системы не равносильны.

2)

Снова приведем уравнения обеих систем к стандартному виду $Ax+By+C=0$.

Первая система:

$$ \begin{cases} 10x - 7y - 1 = 0 \\ -1,2y + 6x + 5 = 0 \end{cases} $$

Первое уравнение уже находится в стандартном виде: $10x - 7y - 1 = 0$.

Преобразуем второе уравнение, поменяв слагаемые местами: $6x - 1,2y + 5 = 0$.

Вторая система:

$$ \begin{cases} 0,7y = x - 0,1 \\ y = 5x + 4\frac{1}{6} \end{cases} $$

Преобразуем ее уравнения к стандартному виду.

Первое уравнение:

$0,7y = x - 0,1 \implies x - 0,7y - 0,1 = 0$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (x - 0,7y - 0,1) = 10 \cdot 0 \implies 10x - 7y - 1 = 0$

Это уравнение в точности совпадает с первым уравнением первой системы.

Второе уравнение второй системы:

$y = 5x + 4\frac{1}{6} \implies y = 5x + \frac{25}{6}$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5x - y + \frac{25}{6} = 0$

Умножим на 6, чтобы избавиться от дроби:

$6 \cdot (5x - y + \frac{25}{6}) = 6 \cdot 0 \implies 30x - 6y + 25 = 0$

Теперь вернемся ко второму уравнению первой системы: $6x - 1,2y + 5 = 0$. Умножим его на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5 \cdot (6x - 1,2y + 5) = 5 \cdot 0 \implies 30x - 6y + 25 = 0$

Это уравнение в точности совпадает с преобразованным вторым уравнением второй системы.

Поскольку каждое уравнение первой системы равносильно соответствующему уравнению второй системы, сами системы также равносильны.

Ответ: системы равносильны.