номер 1342, страница 171, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите решения систем уравнений (1341—1342):

$\begin{cases} \frac{3x - 1}{2} + \frac{9 - 5y}{3} = 2,5, \\ \frac{8 - 3y}{4} - \frac{6 + 5x}{3} = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{7y + 1}{5} - \frac{x - 2}{6} = 2\frac{4}{15}, \\ \frac{8x + 3}{2} - \frac{y - 10}{7} = -5\frac{3}{14}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{2x - 1}{10} - \frac{y + 2}{5} + \frac{3 - x}{15} = \frac{1}{30}, \\ \frac{3 + x}{6} + \frac{5 - y}{4} - \frac{2y - 1}{12} = 1\frac{3}{7}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{y + 2}{9} - \frac{x - 2}{2} + \frac{x - y}{18} = \frac{1}{9}, \\ \frac{x + y}{2} + \frac{6 - x}{8} - \frac{7 - y}{16} = 1\frac{1}{4}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x-1}{2} + \frac{9-5y}{3} = 2,5 \\ \frac{8-3y}{4} - \frac{6+5x}{3} = 0 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, приводя к общему знаменателю. Для первого уравнения, с учетом $2,5 = \frac{5}{2}$, общий знаменатель 6:

$$ 3(3x-1) + 2(9-5y) = 15 $$

$$ 9x - 3 + 18 - 10y = 15 $$

$$ 9x - 10y + 15 = 15 $$

$$ 9x - 10y = 0 $$

Для второго уравнения общий знаменатель 12:

$$ 3(8-3y) - 4(6+5x) = 0 $$

$$ 24 - 9y - 24 - 20x = 0 $$

$$ -20x - 9y = 0 $$

$$ 20x + 9y = 0 $$

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 9x - 10y = 0 \\ 20x + 9y = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\text{x}$: $9x = 10y \Rightarrow x = \frac{10}{9}y$.

Подставим во второе уравнение:

$$ 20 \left( \frac{10}{9}y \right) + 9y = 0 $$

$$ \frac{200}{9}y + \frac{81}{9}y = 0 $$

$$ \frac{281}{9}y = 0 \Rightarrow y = 0 $$

Подставим значение $\text{y}$ обратно, чтобы найти $\text{x}$:

$$ x = \frac{10}{9} \cdot 0 = 0 $$

Ответ: $(0; 0)$

2) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7y+1}{5} - \frac{x-2}{6} = 2\frac{4}{15} \\ \frac{8x+3}{2} - \frac{y-10}{7} = -5\frac{3}{14} \end{cases} $$

Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $2\frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ и $-5\frac{3}{14} = -\frac{73}{14}$.

Упростим первое уравнение, умножив на общий знаменатель 30:

$$ 6(7y+1) - 5(x-2) = 2 \cdot 34 $$

$$ 42y + 6 - 5x + 10 = 68 $$

$$ -5x + 42y = 52 \Rightarrow 5x - 42y = -52 $$

Упростим второе уравнение, умножив на общий знаменатель 14:

$$ 7(8x+3) - 2(y-10) = -73 $$

$$ 56x + 21 - 2y + 20 = -73 $$

$$ 56x - 2y = -114 $$

Разделим на 2: $28x - y = -57$.

Получили систему:

$$ \begin{cases} 5x - 42y = -52 \\ 28x - y = -57 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $\text{y}$: $y = 28x + 57$.

Подставим в первое уравнение:

$$ 5x - 42(28x + 57) = -52 $$

$$ 5x - 1176x - 2394 = -52 $$

$$ -1171x = 2342 \Rightarrow x = -2 $$

Найдем $\text{y}$: $y = 28(-2) + 57 = -56 + 57 = 1$.

Ответ: $(-2; 1)$

3) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x-1}{10} - \frac{y+2}{5} + \frac{3-x}{15} = \frac{1}{30} \\ \frac{3+x}{6} + \frac{5-y}{4} - \frac{2y-1}{12} = 1\frac{3}{7} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив на общий знаменатель 30:

$$ 3(2x-1) - 6(y+2) + 2(3-x) = 1 $$

$$ 6x - 3 - 6y - 12 + 6 - 2x = 1 $$

$$ 4x - 6y - 9 = 1 \Rightarrow 4x - 6y = 10 \Rightarrow 2x - 3y = 5 $$

Упростим второе уравнение, преобразовав $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ и умножив на общий знаменатель 12:

$$ 2(3+x) + 3(5-y) - (2y-1) = 12 \cdot \frac{10}{7} $$

$$ 6 + 2x + 15 - 3y - 2y + 1 = \frac{120}{7} $$

$$ 2x - 5y + 22 = \frac{120}{7} $$

Умножим на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$$ 14x - 35y + 154 = 120 $$

$$ 14x - 35y = -34 $$

Получили систему:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 14x - 35y = -34 \end{cases} $$

Из первого уравнения: $x = \frac{5+3y}{2}$.

Подставим во второе:

$$ 14 \left( \frac{5+3y}{2} \right) - 35y = -34 $$

$$ 7(5+3y) - 35y = -34 $$

$$ 35 + 21y - 35y = -34 $$

$$ -14y = -69 \Rightarrow y = \frac{69}{14} $$

Найдем $\text{x}$:

$$ x = \frac{5 + 3(\frac{69}{14})}{2} = \frac{\frac{70}{14} + \frac{207}{14}}{2} = \frac{\frac{277}{14}}{2} = \frac{277}{28} $$

Ответ: $(\frac{277}{28}; \frac{69}{14})$

4) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y+2}{9} - \frac{x-2}{2} + \frac{x-y}{18} = \frac{1}{9} \\ \frac{x+y}{2} + \frac{6-x}{8} - \frac{7-y}{16} = 1\frac{1}{4} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив на общий знаменатель 18:

$$ 2(y+2) - 9(x-2) + (x-y) = 2 $$

$$ 2y + 4 - 9x + 18 + x - y = 2 $$

$$ -8x + y + 22 = 2 \Rightarrow -8x + y = -20 $$

Упростим второе уравнение, преобразовав $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ и умножив на общий знаменатель 16:

$$ 8(x+y) + 2(6-x) - (7-y) = 16 \cdot \frac{5}{4} $$

$$ 8x + 8y + 12 - 2x - 7 + y = 20 $$

$$ 6x + 9y + 5 = 20 \Rightarrow 6x + 9y = 15 \Rightarrow 2x + 3y = 5 $$

Получили систему:

$$ \begin{cases} -8x + y = -20 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\text{y}$: $y = 8x - 20$.

Подставим во второе уравнение:

$$ 2x + 3(8x - 20) = 5 $$

$$ 2x + 24x - 60 = 5 $$

$$ 26x = 65 \Rightarrow x = \frac{65}{26} = \frac{5}{2} = 2,5 $$

Найдем $\text{y}$: $y = 8(2,5) - 20 = 20 - 20 = 0$.

Ответ: $(2,5; 0)$