номер 1345, страница 172, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1345. Решите систему относительно x и y, где p — некоторое число:

1) $\begin{cases} -2x + 5y - 7 = 0, \\ px + 3y - 1 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8x - 9y + 4 = 0, \\ 4x - py + 2 = 0. \end{cases}$

1)

Запишем систему уравнений в стандартном виде:

$ \begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ px + 3y = 1 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом Крамера. Найдем определители.

Главный определитель системы:

$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ p & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 5 \cdot p = -6 - 5p$

Определитель для переменной $\text{x}$:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 21 - 5 = 16$

Определитель для переменной $\text{y}$:

$\Delta_y = \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ p & 1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 1 - 7 \cdot p = -2 - 7p$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Система имеет единственное решение. Это возможно, если главный определитель не равен нулю: $\Delta \neq 0$.

$-6 - 5p \neq 0 \implies 5p \neq -6 \implies p \neq -6/5$.

При $p \neq -6/5$ решение системы находится по формулам:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{16}{-6 - 5p} = -\frac{16}{5p + 6}$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-2 - 7p}{-6 - 5p} = \frac{2 + 7p}{6 + 5p} = \frac{7p + 2}{5p + 6}$

Случай 2: Главный определитель равен нулю: $\Delta = 0$.

$-6 - 5p = 0 \implies p = -6/5$.

При этом значении $\text{p}$ определитель $\Delta_x = 16 \neq 0$. Так как $\Delta = 0$ и $\Delta_x \neq 0$, система несовместна, то есть не имеет решений.

Ответ: если $p = -6/5$, то система не имеет решений; если $p \neq -6/5$, то $x = -\frac{16}{5p+6}, y = \frac{7p+2}{5p+6}$.

2)

Запишем систему уравнений в стандартном виде:

$ \begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - py = -2 \end{cases} $

Решим систему методом Крамера. Найдем определители.

Главный определитель системы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & -9 \\ 4 & -p \end{vmatrix} = 8 \cdot (-p) - (-9) \cdot 4 = -8p + 36$

Определитель для переменной $\text{x}$:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} -4 & -9 \\ -2 & -p \end{vmatrix} = (-4) \cdot (-p) - (-9) \cdot (-2) = 4p - 18$

Определитель для переменной $\text{y}$:

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 8 & -4 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 8 \cdot (-2) - (-4) \cdot 4 = -16 + 16 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Система имеет единственное решение. Это возможно, если $\Delta \neq 0$.

$-8p + 36 \neq 0 \implies 8p \neq 36 \implies p \neq 36/8 \implies p \neq 9/2$.

При $p \neq 9/2$ решение системы находится по формулам:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{4p - 18}{-8p + 36} = \frac{2(2p - 9)}{-4(2p - 9)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-8p + 36} = 0$

Таким образом, при $p \neq 9/2$ система имеет единственное решение: $(-1/2; 0)$.

Случай 2: Главный определитель равен нулю: $\Delta = 0$.

$-8p + 36 = 0 \implies p = 9/2$.

При этом значении $\text{p}$ найдем значения других определителей:

$\Delta_x = 4p - 18 = 4(9/2) - 18 = 18 - 18 = 0$

$\Delta_y = 0$ (не зависит от $\text{p}$).

Так как при $p=9/2$ все три определителя ($\Delta, \Delta_x, \Delta_y$) равны нулю, система имеет бесконечно много решений. В этом случае второе уравнение системы становится следствием первого. Действительно, при $p=9/2$ система имеет вид:

$ \begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - \frac{9}{2}y = -2 \end{cases} $

Умножив второе уравнение на 2, получим $8x - 9y = -4$, что совпадает с первым уравнением. Таким образом, решениями являются все пары $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $8x - 9y = -4$.

Ответ: если $p = 9/2$, то система имеет бесконечно много решений, удовлетворяющих уравнению $8x - 9y = -4$; если $p \neq 9/2$, то $x = -1/2, y = 0$.