номер 742, страница 166, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

742. Убедитесь, что получится целое число после упрощения выражения:

$18\frac{7}{12}(-2\frac{2}{5} + 3b) - 31\frac{8}{15}(-7\frac{1}{2} + 3b) + 3(12,95b + 2,7)$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить несколько шагов: преобразовать все числа в удобный для вычислений формат (неправильные дроби), раскрыть скобки, сгруппировать и привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $18\frac{7}{12}(-2\frac{2}{5} + 3b) - 31\frac{8}{15}(-7\frac{1}{2} + 3b) + 3(12,95b + 2,7)$.

Преобразование чисел

Сначала преобразуем все смешанные и десятичные числа в дроби для точности вычислений.

$18\frac{7}{12} = \frac{18 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{216 + 7}{12} = \frac{223}{12}$

$-2\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{12}{5}$

$31\frac{8}{15} = \frac{31 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{465 + 8}{15} = \frac{473}{15}$

$-7\frac{1}{2} = -\frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{15}{2}$

$12,95 = \frac{1295}{100} = \frac{259}{20}$

$2,7 = \frac{27}{10}$

Раскрытие скобок и упрощение

Подставим преобразованные дроби в выражение и раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения $a(x+y) = ax+ay$.

$\frac{223}{12}(-\frac{12}{5} + 3b) - \frac{473}{15}(-\frac{15}{2} + 3b) + 3(\frac{259}{20}b + \frac{27}{10}) = $

$= \frac{223}{12} \cdot (-\frac{12}{5}) + \frac{223}{12} \cdot 3b - \frac{473}{15} \cdot (-\frac{15}{2}) - \frac{473}{15} \cdot 3b + 3 \cdot \frac{259}{20}b + 3 \cdot \frac{27}{10}$

Теперь упростим каждое слагаемое:

$\frac{223}{\cancel{12}} \cdot (-\frac{\cancel{12}}{5}) = -\frac{223}{5}$

$\frac{223}{12} \cdot 3b = \frac{223 \cdot 3}{12}b = \frac{223}{4}b$

$-\frac{473}{\cancel{15}} \cdot (-\frac{\cancel{15}}{2}) = \frac{473}{2}$

$-\frac{473}{15} \cdot 3b = -\frac{473 \cdot 3}{15}b = -\frac{473}{5}b$

$3 \cdot \frac{259}{20}b = \frac{777}{20}b$

$3 \cdot \frac{27}{10} = \frac{81}{10}$

Группировка и приведение подобных слагаемых

Соберем все упрощенные части вместе и сгруппируем слагаемые с переменной $\text{b}$ и числовые слагаемые:

$-\frac{223}{5} + \frac{223}{4}b + \frac{473}{2} - \frac{473}{5}b + \frac{777}{20}b + \frac{81}{10} = (\frac{223}{4}b - \frac{473}{5}b + \frac{777}{20}b) + (-\frac{223}{5} + \frac{473}{2} + \frac{81}{10})$

Вычислим сумму слагаемых, содержащих переменную $\text{b}$, приведя коэффициенты к общему знаменателю 20:

$(\frac{223 \cdot 5}{20} - \frac{473 \cdot 4}{20} + \frac{777}{20})b = (\frac{1115 - 1892 + 777}{20})b = \frac{0}{20}b = 0$

Слагаемые с переменной $\text{b}$ взаимно уничтожаются.

Теперь вычислим сумму числовых слагаемых, приведя их к общему знаменателю 10:

$-\frac{223 \cdot 2}{10} + \frac{473 \cdot 5}{10} + \frac{81}{10} = \frac{-446 + 2365 + 81}{10} = \frac{-446 + 2446}{10} = \frac{2000}{10} = 200$

В результате упрощения выражения получилось число 200. Это целое число, что и требовалось доказать.

Ответ: 200.