номер 870, страница 24, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

870. Найдите множество корней уравнения:

1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|;$

2) $100 - |x| = -49|x| + 124;$

3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|;$

4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|.$

1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$

Данное уравнение содержит переменную $\text{x}$ только под знаком модуля. Это значит, что мы можем упростить его, введя замену. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $y \geq 0$.

Подставим $\text{y}$ в исходное уравнение:

$y + 5y - 40 = 4y$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $\text{y}$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:

$6y - 40 = 4y$

Перенесем слагаемые с $\text{y}$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$6y - 4y = 40$

$2y = 40$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{40}{2}$

$y = 20$

Проверим условие $y \geq 0$. $20 \geq 0$, условие выполняется.

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$, выполнив обратную замену:

$|x| = 20$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 20$

$x_2 = -20$

Таким образом, множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-20, 20\}$

2) $100 - |x| = -49|x| + 124$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \geq 0$.

Подставим $\text{y}$ в уравнение:

$100 - y = -49y + 124$

Перенесем все слагаемые с $\text{y}$ в левую часть, а числа — в правую:

$-y + 49y = 124 - 100$

Приведем подобные слагаемые:

$48y = 24$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{24}{48}$

$y = \frac{1}{2}$ или $y = 0.5$

Проверим условие $y \geq 0$. $0.5 \geq 0$, условие выполняется.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$|x| = 0.5$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0.5$

$x_2 = -0.5$

Ответ: $\{-0.5, 0.5\}$

3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \geq 0$.

Подставим $\text{y}$ в уравнение:

$6y - 2y = 35 - 16y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4y = 35 - 16y$

Перенесем слагаемые с $\text{y}$ в левую часть:

$4y + 16y = 35$

$20y = 35$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{35}{20}$

Сократим дробь на 5:

$y = \frac{7}{4}$ или $y = 1.75$

Проверим условие $y \geq 0$. $1.75 \geq 0$, условие выполняется.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$|x| = 1.75$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1.75$

$x_2 = -1.75$

Ответ: $\{-1.75, 1.75\}$

4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \geq 0$.

Подставим $\text{y}$ в уравнение:

$29y - y - 13 = -22y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$28y - 13 = -22y$

Перенесем слагаемые с $\text{y}$ в левую часть, а числа — в правую:

$28y + 22y = 13$

$50y = 13$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{13}{50}$ или $y = 0.26$

Проверим условие $y \geq 0$. $0.26 \geq 0$, условие выполняется.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$|x| = 0.26$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0.26$

$x_2 = -0.26$

Ответ: $\{-0.26, 0.26\}$