номер 946, страница 47, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

946. Найдите числовой отрезок, концы которого неотрицательные числа, если значение суммы всех натуральных чисел, принадлежащих этому отрезку, равно:

1) 6;

2) 9.

Рассмотрите все возможные варианты.

Пусть искомый числовой отрезок — это $[a, b]$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — неотрицательные числа и $0 \le a \le b$. Множество натуральных чисел, принадлежащих этому отрезку, обозначим как $\text{S}$. Согласно условию, $S = \{n \in \mathbb{N} \mid a \le n \le b\}$. Поскольку $[a, b]$ является сплошным отрезком, то если натуральные числа $\text{k}$ и $\text{m}$ ($k < m$) принадлежат ему, то и все натуральные числа между ними также принадлежат ему. Следовательно, множество $\text{S}$ должно состоять из последовательных натуральных чисел.

1) Сумма всех натуральных чисел, принадлежащих отрезку, равна 6.

Нам нужно найти все наборы последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 6.

Вариант 1: Набор состоит из одного числа.

В этом случае число равно 6. Множество натуральных чисел на отрезке — $S = \{6\}$. Чтобы отрезок $[a, b]$ содержал только натуральное число 6, его концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять условиям: $a \le 6$ (чтобы 6 входило в отрезок), $a > 5$ (чтобы 5 не входило), $b \ge 6$ (чтобы 6 входило) и $b < 7$ (чтобы 7 не входило). Объединив эти условия, получаем: $5 < a \le 6$ и $6 \le b < 7$.

Вариант 2: Набор состоит из двух или более чисел.

Рассмотрим суммы последовательных натуральных чисел: $1+2=3$; $1+2+3=6$. Мы нашли подходящий набор: $S = \{1, 2, 3\}$. Другие наборы, начинающиеся с 1, дадут большую сумму ($1+2+3+4=10 > 6$). Наборы, начинающиеся с 2, также не подходят ($2+3=5$; $2+3+4=9 > 6$). Таким образом, единственный другой возможный набор — это $\{1, 2, 3\}$. Чтобы отрезок $[a, b]$ содержал натуральные числа 1, 2, 3 и только их, его концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять условиям: $a \le 1$ (чтобы 1 входило в отрезок), $b \ge 3$ (чтобы 3 входило) и $b < 4$ (чтобы 4 не входило). С учетом условия неотрицательности $\text{a}$, получаем: $0 \le a \le 1$ и $3 \le b < 4$.

Ответ: Существует два класса искомых отрезков $[a, b]$:

1. Отрезки, содержащие только натуральное число 6. Их концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять неравенствам $5 < a \le 6$ и $6 \le b < 7$.

2. Отрезки, содержащие натуральные числа 1, 2 и 3. Их концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять неравенствам $0 \le a \le 1$ и $3 \le b < 4$.

2) Сумма всех натуральных чисел, принадлежащих отрезку, равна 9.

Нам нужно найти все наборы последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 9.

Вариант 1: Набор состоит из одного числа.

Число равно 9. Множество $S = \{9\}$. Условия для концов отрезка $[a, b]$: $a \le 9$, $a > 8$, $b \ge 9$, $b < 10$. Следовательно, $8 < a \le 9$ и $9 \le b < 10$.

Вариант 2: Набор состоит из двух чисел.

Пусть это числа $\text{n}$ и $n+1$. Их сумма $n + (n+1) = 2n+1 = 9$, откуда $2n = 8$, $n = 4$. Набор $S = \{4, 5\}$. Условия для концов отрезка $[a, b]$: $a \le 4$, $a > 3$, $b \ge 5$, $b < 6$. Следовательно, $3 < a \le 4$ и $5 \le b < 6$.

Вариант 3: Набор состоит из трёх чисел.

Пусть это числа $\text{n}$, $n+1$, $n+2$. Их сумма $n + (n+1) + (n+2) = 3n+3 = 9$, откуда $3n = 6$, $n = 2$. Набор $S = \{2, 3, 4\}$. Условия для концов отрезка $[a, b]$: $a \le 2$, $a > 1$, $b \ge 4$, $b < 5$. Следовательно, $1 < a \le 2$ и $4 \le b < 5$.

Вариант 4: Набор состоит из четырёх и более чисел.

Сумма четырёх наименьших натуральных чисел $1+2+3+4=10$, что больше 9. Следовательно, других вариантов нет.

Ответ: Существует три класса искомых отрезков $[a, b]$:

1. Отрезки, содержащие только натуральное число 9. Их концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять неравенствам $8 < a \le 9$ и $9 \le b < 10$.

2. Отрезки, содержащие натуральные числа 4 и 5. Их концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять неравенствам $3 < a \le 4$ и $5 \le b < 6$.

3. Отрезки, содержащие натуральные числа 2, 3 и 4. Их концы $\text{a}$ и $\text{b}$ должны удовлетворять неравенствам $1 < a \le 2$ и $4 \le b < 5$.