номер 3, страница 50, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Может ли пересечение двух числовых лучей быть числовым отрезком, числовым лучом, числовой прямой?

числовым отрезком

Да, пересечение двух числовых лучей может быть числовым отрезком.

Числовой луч — это множество точек на числовой прямой, расположенных по одну сторону от некоторой точки, включая саму эту точку. Например, луч, начинающийся в точке $\text{a}$ и идущий вправо, задается неравенством $x \ge a$ или в виде промежутка $[a, +\infty)$. Луч, начинающийся в точке $\text{b}$ и идущий влево, задается как $x \le b$ или $(-\infty, b]$.

Рассмотрим пересечение двух лучей, направленных в разные стороны. Пусть первый луч — это множество точек $L_1 = \{x | x \ge a\}$, то есть промежуток $[a, +\infty)$. Пусть второй луч — это множество точек $L_2 = \{x | x \le b\}$, то есть промежуток $(-\infty, b]$.

Их пересечение $L_1 \cap L_2$ состоит из всех точек $\text{x}$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge a$ и $x \le b$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a \le x \le b$.

Такое множество точек, при условии что $a \le b$, является числовым отрезком $[a, b]$.

Например, если взять луч $[2, +\infty)$ и луч $(-\infty, 7]$, их пересечением будет множество всех чисел, которые больше или равны 2 и одновременно меньше или равны 7. Это числовой отрезок $[2, 7]$.

Ответ: Да, может.

числовым лучом

Да, пересечение двух числовых лучей может быть числовым лучом.

Рассмотрим пересечение двух лучей, направленных в одну сторону. Пусть первый луч — это $L_1 = [a, +\infty)$, а второй луч — $L_2 = [b, +\infty)$.

Их пересечение $L_1 \cap L_2$ состоит из всех точек $\text{x}$, которые удовлетворяют условиям $x \ge a$ и $x \ge b$.

Если $a < b$, то любое число, которое больше или равно $\text{b}$, автоматически будет больше и $\text{a}$. Следовательно, пересечением будет множество $\{x | x \ge b\}$, то есть луч $[b, +\infty)$.

Если $a \ge b$, то по аналогии пересечением будет множество $\{x | x \ge a\}$, то есть луч $[a, +\infty)$.

В общем случае, пересечение лучей $[a, +\infty)$ и $[b, +\infty)$ есть луч $[\max(a, b), +\infty)$.

Аналогично, для лучей, направленных влево, $(-\infty, a]$ и $(-\infty, b]$, их пересечение будет лучом $(-\infty, \min(a, b)]$.

Например, пересечение лучей $[3, +\infty)$ и $[5, +\infty)$ есть луч $[5, +\infty)$.

Ответ: Да, может.

числовой прямой

Нет, пересечение двух числовых лучей не может быть числовой прямой.

Числовая прямая — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Она не ограничена ни слева, ни справа.

Любой числовой луч по определению ограничен с одной стороны. Например, луч $[a, +\infty)$ ограничен снизу числом $\text{a}$ (все его точки больше или равны $\text{a}$), а луч $(-\infty, b]$ ограничен сверху числом $\text{b}$ (все его точки меньше или равны $\text{b}$).

Пересечение двух множеств является подмножеством каждого из этих множеств. То есть, если $I = L_1 \cap L_2$, то $I \subseteq L_1$ и $I \subseteq L_2$.

Поскольку любой луч $L_1$ ограничен с одной стороны, то и любое его подмножество, включая пересечение $\text{I}$, также будет ограничено с этой стороны. Например, если $L_1 = [a, +\infty)$, то все точки пересечения $\text{I}$ также должны быть больше или равны $\text{a}$.

Числовая прямая не является ограниченным множеством. Следовательно, пересечение двух лучей, будучи ограниченным хотя бы с одной стороны, не может быть всей числовой прямой.

Ответ: Нет, не может.