номер 2, страница 50, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Может ли объединение двух числовых лучей быть числовым отрезком, числовым лучом, числовой прямой?

Числовым отрезком

Нет, объединение двух числовых лучей не может быть числовым отрезком.

Числовой луч по определению является неограниченным множеством. Например, луч, задаваемый неравенством $x \ge a$ (интервальная запись $[a, +\infty)$), является неограниченным сверху. Объединение множества с неограниченным множеством также будет неограниченным.

Числовой отрезок, например $[c, d]$, по определению является ограниченным множеством, так как все его точки $\text{x}$ удовлетворяют условию $c \le x \le d$.

Поскольку объединение двух лучей всегда является неограниченным множеством, а любой отрезок — ограниченным, одно не может быть равно другому.

Ответ: нет, не может.

Да, объединение двух числовых лучей может быть числовым лучом.

Это происходит, когда лучи сонаправлены (направлены в одну сторону). В этом случае их объединением будет тот из лучей, который содержит другой.

Например, рассмотрим два луча: $L_1 = [2, +\infty)$ и $L_2 = [5, +\infty)$.

Объединение $L_1 \cup L_2$ состоит из всех чисел $\text{x}$, которые удовлетворяют условию $x \ge 2$ или $x \ge 5$. Это множество эквивалентно множеству чисел, для которых выполняется $x \ge 2$.

Таким образом, их объединение является лучом: $[2, +\infty) \cup [5, +\infty) = [2, +\infty)$.

Аналогично для лучей, направленных влево: $(-\infty, -1] \cup (-\infty, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: да, может.

Да, объединение двух числовых лучей может быть числовой прямой.

Это происходит, если объединить два луча, направленных в противоположные стороны, которые пересекаются или имеют общую начальную точку. Их объединение должно покрывать всю числовую ось без "пропусков".

Например, рассмотрим лучи $L_1 = (-\infty, 10]$ и $L_2 = [0, +\infty)$.

Их объединение $L_1 \cup L_2$ состоит из всех чисел $\text{x}$, таких что $x \le 10$ или $x \ge 0$. Любое действительное число удовлетворяет этому условию.

Следовательно, объединение этих лучей образует всю числовую прямую: $(-\infty, 10] \cup [0, +\infty) = (-\infty, +\infty)$.

Простейший пример — два луча, выходящие из одной точки в противоположных направлениях: $(-\infty, a] \cup [a, +\infty) = (-\infty, +\infty)$.

Ответ: да, может.