номер 3, страница 27, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Что можно сделать, чтобы из одной пропорции получить другие пропорции?

Для получения новых верных пропорций из исходной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ используются преобразования, основанные на её основном свойстве: произведение крайних членов равно произведению средних ($ad = bc$). Любое преобразование, сохраняющее это равенство, приводит к новой верной пропорции. Ниже перечислены основные способы.

1. Поменять местами средние члены

В пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно поменять местами её средние члены, $\text{b}$ и $\text{c}$. В результате получится новая верная пропорция $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Это справедливо, так как основное свойство для новой пропорции, $a \cdot d = c \cdot b$, является перестановкой множителей в свойстве исходной пропорции $a \cdot d = b \cdot c$.

Пример: из пропорции $\frac{6}{3} = \frac{4}{2}$ (обе части равны 2) следует новая верная пропорция $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ (обе части равны 1.5).

Ответ: Можно поменять местами средние члены пропорции.

2. Поменять местами крайние члены

В пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно поменять местами её крайние члены, $\text{a}$ и $\text{d}$. Это приведёт к новой верной пропорции $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Основное свойство для неё, $d \cdot a = b \cdot c$, также совпадает с исходным.

Пример: из пропорции $\frac{6}{3} = \frac{4}{2}$ следует новая верная пропорция $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ (обе части равны примерно 0.67).

Ответ: Можно поменять местами крайние члены пропорции.

3. Обратить оба отношения

Каждое отношение в пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно заменить на обратное ему. В результате получится новая верная пропорция $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$. Основное свойство для этой новой пропорции — $b \cdot c = a \cdot d$, что эквивалентно свойству исходной.

Пример: из пропорции $\frac{6}{3} = \frac{4}{2}$ следует новая верная пропорция $\frac{3}{6} = \frac{2}{4}$ (обе части равны 0.5).

Ответ: Можно обратить (перевернуть) оба отношения в пропорции.

4. Составить производные пропорции

Из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить так называемые производные пропорции, складывая или вычитая числители и знаменатели её отношений.

а) Сложением: $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

б) Вычитанием: $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

в) Комбинацией сложения и вычитания: $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ (при $a \neq b$ и $c \neq d$)

Пример: для пропорции $\frac{6}{3} = \frac{4}{2}$:

а) $\frac{6+3}{3} = \frac{4+2}{2} \Rightarrow \frac{9}{3} = \frac{6}{2} \Rightarrow 3=3$

б) $\frac{6-3}{3} = \frac{4-2}{2} \Rightarrow \frac{3}{3} = \frac{2}{2} \Rightarrow 1=1$

Ответ: Можно образовывать производные пропорции путем различных комбинаций сложения и вычитания членов исходной пропорции.