номер 2, страница 107, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Почему вычитание рациональных чисел можно заменить сложением?

Вычитание рациональных чисел можно заменить сложением, потому что операция вычитания по своему определению является обратной к операции сложения. Эта возможность основывается на ключевом понятии "противоположного числа".

Определение противоположного числа

Для любого рационального числа $\text{a}$ существует одно и только одно число, называемое противоположным, которое обозначается как $-a$. Главное свойство противоположных чисел заключается в том, что их сумма равна нулю:

$a + (-a) = 0$

Например, для числа $\text{5}$ противоположным является $-5$, так как $5 + (-5) = 0$. Для числа $-\frac{2}{3}$ противоположным является $\frac{2}{3}$, так как $-\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$.

Правило замены вычитания сложением

Разность двух чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ определяется как такое число $\text{c}$, что $c + b = a$. Используя понятие противоположного числа, можно доказать, что вычитание эквивалентно прибавлению противоположного числа.

Правило формулируется так: чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

В виде формулы это выглядит следующим образом:

$a - b = a + (-b)$

Примеры

Рассмотрим, как это правило работает на практике:

• Вычитание положительного числа: $15 - 8 = 15 + (-8) = 7$. Мы заменяем вычитание восьми на прибавление минус восьми.

• Вычитание отрицательного числа: $10 - (-5)$. Число, противоположное $-5$, это $\text{5}$. Поэтому $10 - (-5) = 10 + 5 = 15$.

• Вычитание из отрицательного числа: $-7 - 3 = -7 + (-3) = -10$.

• Вычитание отрицательного из отрицательного: $-9 - (-4) = -9 + 4 = -5$.

Таким образом, введение отрицательных чисел и понятия противоположного числа позволяет унифицировать арифметические операции. Вместо того чтобы иметь отдельные правила для вычитания, мы можем свести все задачи к сложению, что значительно упрощает вычисления и теоретические построения в математике.

Ответ: вычитание рациональных чисел можно заменить сложением, потому что вычитание числа $\text{b}$ по определению эквивалентно прибавлению противоположного ему числа $-b$. Это следует из аксиом, определяющих свойства чисел, и позволяет свести две арифметические операции (сложение и вычитание) к одной, упрощая правила вычислений. Формула замены: $a - b = a + (-b)$.