номер 2, страница 145, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Какие свойства арифметических действий позволяют провести вычисления рационально?

Для рационального (то есть, более простого и быстрого) проведения вычислений используются следующие основные свойства арифметических действий:

Переместительное (коммутативное) свойство

Это свойство утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, и от перемены мест множителей произведение не меняется. Его можно записать в виде формул: $a + b = b + a$ для сложения и $a \cdot b = b \cdot a$ для умножения. Это свойство позволяет переставлять числа в выражении, чтобы сгруппировать те, с которыми удобнее выполнять действия (например, дающие в сумме или произведении круглое число).

Пример для сложения: В выражении $25 + 78 + 75$ удобнее сначала сложить $25$ и $75$. Поменяв числа местами, получим: $25 + 75 + 78 = 100 + 78 = 178$.

Пример для умножения: В выражении $5 \cdot 32 \cdot 2$ рациональнее сначала умножить $\text{5}$ на $\text{2}$. Переставив множители, получим: $5 \cdot 2 \cdot 32 = 10 \cdot 32 = 320$.

Ответ: Переместительное свойство позволяет менять местами слагаемые или множители для их последующей удобной группировки, что упрощает вычисления.

Сочетательное (ассоциативное) свойство

Это свойство позволяет группировать слагаемые или множители в произвольном порядке. При сложении или умножении трех и более чисел результат не зависит от того, как они сгруппированы. Формулы свойства: $(a + b) + c = a + (b + c)$ для сложения и $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ для умножения. Обычно оно применяется вместе с переместительным свойством.

Пример для сложения: Чтобы вычислить $(48 + 89) + 11$, удобнее сгруппировать $89$ и $11$. Применив свойство, получим: $48 + (89 + 11) = 48 + 100 = 148$.

Пример для умножения: Чтобы вычислить $(50 \cdot 15) \cdot 2$, проще сгруппировать множители иначе: $50 \cdot (15 \cdot 2) = 50 \cdot 30 = 1500$. Или, используя оба свойства, так: $(50 \cdot 2) \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$.

Ответ: Сочетательное свойство позволяет изменять порядок действий путем перегруппировки чисел, что помогает находить более простые комбинации для вычислений.

Распределительное (дистрибутивное) свойство

Это свойство связывает вместе умножение и сложение (или вычитание). Оно гласит, что для умножения числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить. И наоборот: общий множитель можно вынести за скобки. Формулы: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Это одно из самых мощных свойств для упрощения вычислений.

Пример 1 (умножение на сумму): Чтобы вычислить $4 \cdot 255$, можно представить $255$ как сумму $250 + 5$. Тогда $4 \cdot (250 + 5) = 4 \cdot 250 + 4 \cdot 5 = 1000 + 20 = 1020$.

Пример 2 (вынесение общего множителя): В выражении $143 \cdot 28 - 43 \cdot 28$ гораздо проще вынести общий множитель $28$ за скобки: $(143 - 43) \cdot 28 = 100 \cdot 28 = 2800$. Это заменяет два сложных умножения и вычитание на простое вычитание и умножение на 100.

Ответ: Распределительное свойство позволяет либо заменять одно сложное умножение на несколько более простых (раскрытие скобок), либо уменьшать количество действий, объединяя их (вынесение общего множителя за скобки).