номер 1, страница 65, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Имеет ли система неравенств с одной переменной решение, если одно из неравенств системы не имеет решений?

1. Нет, такая система неравенств не будет иметь решений.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, которое одновременно удовлетворяет каждому из неравенств системы. Это означает, что множество решений системы является пересечением множеств решений всех неравенств, входящих в эту систему.

Пусть дана система, состоящая из нескольких неравенств. Обозначим множество решений первого неравенства как $S_1$, второго — как $S_2$, и так далее. Тогда множество решений всей системы $S_{сист}$ будет равно их пересечению: $S_{сист} = S_1 \cap S_2 \cap \dots$

В условии сказано, что одно из неравенств системы не имеет решений. Это значит, что множество его решений является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

Допустим, $\text{k}$-ое неравенство системы не имеет решений, то есть $S_k = \emptyset$. Тогда для нахождения решения всей системы нам нужно будет найти пересечение, в котором участвует пустое множество: $S_{сист} = S_1 \cap \dots \cap S_k \cap \dots = S_1 \cap \dots \cap \emptyset \cap \dots$

Пересечение любого множества с пустым множеством всегда равно пустому множеству. Следовательно, $S_{сист} = \emptyset$.

Если множество решений системы является пустым, это означает, что система не имеет решений.

Пример:

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} x > 5 \\ x^2 \le -4 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > 5$ является интервал $(5; +\infty)$.

Второе неравенство $x^2 \le -4$ не имеет решений в области действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит, не может быть меньше или равен отрицательному числу. Множество решений этого неравенства — $\emptyset$.

Решение системы — это пересечение множеств решений: $(5; +\infty) \cap \emptyset = \emptyset$.

Таким образом, вся система не имеет решений.

Ответ: Нет, если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.