номер 2, страница 65, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Что будет решением системы неравенств с одной переменной, если одно из неравенств верно при любом значении переменной?

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Если одно из неравенств верно при любом значении переменной, это означает, что его решением является вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел, которое можно записать как $x \in (-\infty; +\infty)$.

При нахождении пересечения множества решений остальных неравенств с множеством $(-\infty; +\infty)$, итоговое решение будет полностью совпадать с решением этих остальных неравенств. Иначе говоря, неравенство, которое всегда верно, не накладывает никаких дополнительных ограничений на переменную, и его можно фактически проигнорировать при решении системы.

Рассмотрим пример:

$\{ \begin{array}{l} 2x - 6 > 0 \\ x^2 + 4 > 0 \end{array} \}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $2x - 6 > 0 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$. Решением этого неравенства является промежуток $(3; +\infty)$.

2. $x^2 + 4 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $\text{x}$, то сумма $x^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4, а значит, всегда строго больше нуля. Следовательно, это неравенство верно при любом значении переменной $\text{x}$. Его решением является вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств:

$(3; +\infty) \cap (-\infty; +\infty) = (3; +\infty)$.

Как мы видим, решение всей системы совпало с решением первого неравенства, а второе, всегда верное неравенство, не повлияло на конечный результат.

Ответ: Решением такой системы будет являться множество решений всех остальных неравенств, входящих в систему. Неравенство, верное при любом значении переменной, на итоговое решение системы не влияет.