номер 3, страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Сколько решений может иметь линейное уравнение с двумя переменными?

Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид $ax + by = c$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — переменные, а $\text{a}$, $\text{b}$, и $\text{c}$ — некоторые числа (коэффициенты). Количество решений такого уравнения полностью зависит от значений этих коэффициентов.

Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю (т.е. $a \neq 0$ или $b \neq 0$).

Это наиболее частая ситуация. Если, к примеру, коэффициент $\text{b}$ не равен нулю, мы можем выразить переменную $\text{y}$ через $\text{x}$:

$by = c - ax$

$y = \frac{c - ax}{b}$

В это выражение можно подставить любое действительное число вместо $\text{x}$ и для каждого такого $\text{x}$ вычислить единственное соответствующее значение $\text{y}$. Поскольку существует бесконечно много чисел, которые можно подставить вместо $\text{x}$, то и пар-решений $(x, y)$ будет бесконечно много. Графически множество всех таких решений представляет собой прямую линию на координатной плоскости.

В этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: Оба коэффициента при переменных равны нулю (т.е. $a = 0$ и $b = 0$).

Уравнение в этом случае принимает вид $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$, что упрощается до равенства $0 = c$. Здесь возможны два варианта:

- Если коэффициент $\text{c}$ также равен нулю ($c = 0$), мы получаем тождество $0 = 0$. Это равенство является верным при любых значениях $\text{x}$ и $\text{y}$. Следовательно, любая пара чисел $(x, y)$ будет решением. В этом случае уравнение также имеет бесконечно много решений.

- Если коэффициент $\text{c}$ не равен нулю ($c \neq 0$), мы получаем неверное равенство, например, $0 = 5$. Такое равенство не может быть верным ни при каких значениях $\text{x}$ и $\text{y}$. В этом случае уравнение не имеет решений.

Таким образом, линейное уравнение с двумя переменными никогда не может иметь, например, одно, два или любое другое конечное число решений. Возможны только два исхода.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными может иметь бесконечно много решений или не иметь решений.