номер 6, страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Какие преобразования и почему можно выполнять при решении уравнений с двумя переменными?

При решении уравнений с двумя переменными, как и при решении любых других уравнений, основная цель — упростить исходное уравнение до такого вида, из которого легко найти его решения (пары чисел $(x, y)$). Для этого выполняют так называемые равносильные (или эквивалентные) преобразования. Это такие преобразования, которые заменяют одно уравнение другим, имеющим в точности то же самое множество решений. Если преобразование не является равносильным, можно потерять решения или приобрести посторонние.

Рассмотрим основные виды равносильных преобразований:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую

Любой член уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив его знак на противоположный.

Почему это можно делать? Это преобразование основано на свойстве верного числового равенства: если к обеим частям верного равенства прибавить (или из них вычесть) одно и то же число (или выражение), то получится верное равенство. Например, в уравнении $F(x, y) = G(x, y) + H(x, y)$, мы можем вычесть $H(x, y)$ из обеих частей: $F(x, y) - H(x, y) = G(x, y) + H(x, y) - H(x, y)$, что равносильно $F(x, y) - H(x, y) = G(x, y)$. Таким образом, член $H(x, y)$ "перенесся" из правой части в левую с противоположным знаком, при этом множество решений уравнения не изменилось.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое выражение

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Также можно умножать или делить на выражение, содержащее переменные, если это выражение не обращается в ноль ни при каких значениях переменных из области допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

Почему это можно делать? Это следует из свойства равенства: если $A = B$ и $C \neq 0$, то $A \cdot C = B \cdot C$ и $A / C = B / C$. Например, уравнение $2x - 6y = 10$ равносильно уравнению $x - 3y = 5$, полученному делением обеих частей на 2. Множество решений (пар $(x, y)$) у этих уравнений одинаковое.

Важное замечание: если выражение, на которое мы делим, может быть равно нулю, мы рискуем потерять корни. Например, при решении $(x-1)(y-2) = 3(x-1)$, если разделить обе части на $(x-1)$, мы получим $y-2=3$, откуда $y=5$. Но при этом мы потеряем все решения, для которых $x-1=0$, то есть $x=1$. При $x=1$ исходное уравнение превращается в $0=0$, что верно при любом значении $\text{y}$. Правильнее перенести все в одну часть и вынести общий множитель: $(x-1)(y-2) - 3(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(y-2-3) = 0 \Rightarrow (x-1)(y-5)=0$. Отсюда следует, что либо $x=1$ (при любом $\text{y}$), либо $y=5$ (при любом $\text{x}$).

3. Тождественные преобразования выражений

Можно заменять любое выражение в уравнении тождественно равным ему выражением. Это включает в себя: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.

Почему это можно делать? Тождественное преобразование не меняет значения выражения при любых допустимых значениях переменных. Следовательно, если равенство было верным до преобразования, оно останется верным и после него. Например, уравнение $(x+y)^2 - y^2 = 5$ можно упростить, применив формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 - y^2 = 5$, что приводит к равносильному уравнению $x^2 + 2xy = 5$.

Существуют и другие преобразования, например, возведение обеих частей в степень. Однако такие преобразования не всегда являются равносильными и могут приводить к появлению посторонних решений. Например, при возведении в квадрат обеих частей уравнения $A=B$ мы получаем уравнение $A^2=B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$. Поэтому после применения таких преобразований необходимо делать проверку, подставляя найденные решения в исходное уравнение.

Ответ: При решении уравнений с двумя переменными можно выполнять равносильные (эквивалентные) преобразования, которые не изменяют множество решений уравнения. К ним относятся: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака; умножение или деление обеих частей на одно и то же выражение, не равное нулю; тождественные преобразования (упрощение) выражений в левой и правой частях уравнения. Эти преобразования можно выполнять потому, что они основаны на фундаментальных свойствах числовых равенств и алгебраических законах, что и гарантирует сохранение множества решений исходного уравнения.