номер 5, страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Какие два линейных уравнения с двумя переменными называются равносильными?

Два линейных уравнения с двумя переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первого уравнения является решением второго, и, наоборот, любое решение второго уравнения является решением первого.

Решением линейного уравнения с двумя переменными, которое имеет общий вид $ax + by = c$, является любая упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение превращает его в верное числовое равенство. Соответственно, у равносильных уравнений множества таких пар $(x_0, y_0)$ полностью идентичны.

С геометрической точки зрения, графиком линейного уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является прямая. Равносильные уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть их графики полностью совпадают.

Пример:

Рассмотрим два уравнения: $x + 2y = 4$ и $3x + 6y = 12$.

Эти уравнения являются равносильными. Это можно проверить, выполнив равносильное преобразование. Если умножить обе части первого уравнения на 3 (число, не равное нулю), мы получим второе уравнение:

$3 \cdot (x + 2y) = 3 \cdot 4$

$3x + 6y = 12$

Поскольку одно уравнение получается из другого с помощью равносильного преобразования, их множества решений одинаковы. Например, пара $(2, 1)$ является решением первого уравнения ($2 + 2 \cdot 1 = 4$), и она же является решением второго ($3 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 6 + 6 = 12$).

Ответ: Два линейных уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Каждая пара чисел, являющаяся решением одного уравнения, должна быть решением и второго, и наоборот. Графически это означает, что прямые, являющиеся графиками этих уравнений, совпадают.