номер 4, страница 157, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Можно ли одну и ту же систему двух линейных уравнений с двумя переменными решить и способом сложения, и способом подстановки?

Да, одну и ту же систему двух линейных уравнений с двумя переменными можно решить и способом сложения, и способом подстановки.

Способ сложения и способ подстановки — это два равносильных (эквивалентных) метода решения систем линейных уравнений. Это означает, что оба они основаны на алгебраических преобразованиях, которые сохраняют множество решений системы. Применение любого из этих методов к одной и той же системе приведет к одному и тому же результату (если решение существует и единственно). Выбор между методами чаще всего зависит от конкретных коэффициентов в уравнениях и того, какой способ покажется проще в данном случае.

Продемонстрируем это на конкретном примере.

Пример

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}$

Решение способом сложения

Чтобы исключить одну из переменных, например $\text{y}$, нам нужно, чтобы коэффициенты при ней стали противоположными числами. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$\begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 1 \\ 3(3x - 2y) = 3 \cdot 8 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 6y = 2 \\ 9x - 6y = 24 \end{cases}$

Теперь коэффициенты при $\text{y}$ равны $\text{6}$ и $-6$. Сложим два полученных уравнения почленно:

$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 2 + 24$

$13x = 26$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$2(2) + 3y = 1$

$4 + 3y = 1$

$3y = 1 - 4$

$3y = -3$

$y = -1$

Решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Решение способом подстановки

Теперь решим эту же систему $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}$ способом подстановки.

Выразим одну переменную из одного из уравнений. Например, выразим $\text{x}$ из первого уравнения:

$2x = 1 - 3y$

$x = \frac{1 - 3y}{2}$

Подставим полученное выражение для $\text{x}$ во второе уравнение системы:

$3\left(\frac{1 - 3y}{2}\right) - 2y = 8$

Решим полученное уравнение относительно $\text{y}$. Для удобства умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2 \cdot 3\left(\frac{1 - 3y}{2}\right) - 2 \cdot 2y = 2 \cdot 8$

$3(1 - 3y) - 4y = 16$

$3 - 9y - 4y = 16$

$3 - 13y = 16$

$-13y = 16 - 3$

$-13y = 13$

$y = -1$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив значение $y=-1$ в выражение для $\text{x}$:

$x = \frac{1 - 3(-1)}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Решением системы также является пара чисел $(2; -1)$.

Как мы видим, оба метода привели к одному и тому же результату. Это доказывает, что одну и ту же систему уравнений можно решить обоими способами.

Ответ: Да, можно. Способ сложения и способ подстановки являются универсальными и взаимозаменяемыми методами решения систем линейных уравнений. Применение любого из этих методов к одной и той же системе приведет к одинаковому результату.