Номер 1048, страница 84, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1048. $17$ участников команды «Комета» набрали $135$ баллов. Докажите, что хотя бы двое из них набрали равное количество баллов.

Для доказательства этого утверждения применим метод от противного, также известный как принцип Дирихле в расширенной форме.

Предположим, что все 17 участников команды набрали разное количество баллов. Поскольку количество набранных баллов не может быть отрицательным и должно быть целым числом, то для того, чтобы общая сумма баллов была как можно меньше, участники должны были набрать наименьшие возможные различные неотрицательные целые числа.

Такими числами будут: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Всего 17 различных значений.

Теперь найдем минимально возможную сумму баллов, которую могли набрать 17 участников при условии, что все их результаты различны. Для этого нужно сложить все эти числа. Эта сумма является суммой членов арифметической прогрессии.

Сумма первых $\text{n}$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

В нашем случае количество членов $n = 17$, первый член прогрессии $a_1 = 0$, а последний $a_{17} = 16$. Подставим значения в формулу: $S_{17} = \frac{(0 + 16) \cdot 17}{2} = \frac{16 \cdot 17}{2} = 8 \cdot 17 = 136$

Таким образом, минимальная сумма баллов, которую могли набрать 17 участников с различными результатами, составляет 136 баллов. Любой другой набор из 17 различных неотрицательных целых чисел дал бы сумму, большую 136.

Однако по условию задачи общая сумма набранных баллов равна 135.

Мы получили противоречие: фактическая сумма баллов ($135$) оказалась меньше минимально возможной суммы ($136$) при нашем предположении. То есть, $135 < 136$.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все участники набрали разное количество баллов, было неверным. Это доказывает, что хотя бы двое из участников набрали равное количество баллов.

Ответ: Доказано методом от противного. Если предположить, что все 17 участников набрали разное количество баллов, то минимальная сумма, которую они могли набрать, равна сумме наименьших различных целых неотрицательных чисел: $0+1+2+...+16 = 136$. Эта сумма больше, чем 135 баллов, указанных в условии задачи. Возникшее противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, а значит, как минимум двое участников набрали одинаковое количество баллов.