Номер 1121, страница 106, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1121.

Даны 5 точек на плоскости, которые симметричны относительно прямой $\text{a}$. Докажите, что хотя бы одна точка лежит на оси симметрии.

Пусть дано множество точек $\text{S}$, состоящее из 5 элементов. По условию, это множество симметрично относительно прямой $\text{a}$. Это означает, что для любой точки $\text{P}$, принадлежащей множеству $\text{S}$, точка $P'$, симметричная $\text{P}$ относительно прямой $\text{a}$, также должна принадлежать множеству $\text{S}$.

Рассмотрим два возможных случая для любой точки из этого множества:

1. Точка $\text{P}$ не лежит на прямой $\text{a}$. В этом случае симметричная ей точка $P'$ является другой точкой, то есть $P \neq P'$. Таким образом, все точки, не лежащие на оси симметрии $\text{a}$, должны входить в множество $\text{S}$ парами.

2. Точка $\text{Q}$ лежит на прямой $\text{a}$. В этом случае точка, симметричная ей, совпадает с ней самой, то есть $Q' = Q$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что ни одна из 5 данных точек не лежит на прямой $\text{a}$.

Если ни одна точка не лежит на прямой $\text{a}$, то все точки множества $\text{S}$ должны удовлетворять первому случаю. Это означает, что все 5 точек должны разбиваться на пары симметричных точек. Однако, количество таких точек должно быть четным, так как они образуют пары $(P_1, P'_1), (P_2, P'_2), ...$ . Число 5 является нечетным, поэтому его невозможно представить в виде суммы пар.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что ни одна точка не лежит на прямой $\text{a}$, неверно. Значит, как минимум одна из 5 точек должна лежать на оси симметрии $\text{a}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.