Номер 1114, страница 105, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1114. На плоскости даны пересекающиеся прямые $\text{a}$ и $\text{b}$. Девять точек расположены симметрично относительно прямых $\text{a}$ и $\text{b}$. Докажите, что одна из этих точек лежит на пересечении прямых $\text{a}$ и $\text{b}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся соображениями симметрии и четности.

Пусть $\text{M}$ — это данное множество из 9 точек. Пусть $S_a$ — это осевая симметрия (отражение) относительно прямой $\text{a}$, а $S_b$ — симметрия относительно прямой $\text{b}$.

По условию, множество точек $\text{M}$ симметрично относительно прямых $\text{a}$ и $\text{b}$. Это означает, что:

• Если точка $\text{P}$ принадлежит множеству $\text{M}$, то и точка $S_a(P)$ также принадлежит $\text{M}$. ($S_a(M) = M$)
• Если точка $\text{P}$ принадлежит множеству $\text{M}$, то и точка $S_b(P)$ также принадлежит $\text{M}$. ($S_b(M) = M$)

Рассмотрим симметрию относительно прямой $\text{a}$. Все точки множества $\text{M}$ можно разделить на две группы: те, что лежат на прямой $\text{a}$, и те, что не лежат на ней.

• Если точка $\text{P}$ лежит на прямой $\text{a}$, то $S_a(P) = P$.
• Если точка $\text{P}$ не лежит на прямой $\text{a}$, то $S_a(P)$ — это другая точка, отличная от $\text{P}$. Так как множество $\text{M}$ симметрично относительно $\text{a}$, точки, не лежащие на прямой $\text{a}$, должны входить в множество $\text{M}$ парами: $\{P, S_a(P)\}$.

Пусть $N_a$ — количество точек из $\text{M}$, лежащих на прямой $\text{a}$. Остальные $9 - N_a$ точек не лежат на прямой $\text{a}$. Поскольку эти точки образуют пары, их количество должно быть четным. То есть, $9 - N_a$ — четное число.

Из того, что разность нечетного числа (9) и числа $N_a$ является четной, следует, что $N_a$ должно быть нечетным числом.

Аналогично, рассуждая о симметрии относительно прямой $\text{b}$, мы приходим к выводу, что количество точек из $\text{M}$, лежащих на прямой $\text{b}$ (обозначим его $N_b$), также должно быть нечетным.

Итак, мы доказали два утверждения:

1. Количество точек из $\text{M}$ на прямой $\text{a}$ нечетно.
2. Количество точек из $\text{M}$ на прямой $\text{b}$ нечетно.

Теперь докажем основное утверждение задачи от противного. Предположим, что ни одна из девяти точек не лежит на пересечении прямых $\text{a}$ и $\text{b}$. Обозначим точку пересечения как $\text{O}$. Таким образом, мы предполагаем, что $o \notin M$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Прямые $\text{a}$ и $\text{b}$ перпендикулярны ($a \perp b$).

Пусть $M_a$ — это подмножество точек из $\text{M}$, которые лежат на прямой $\text{a}$. Мы знаем, что $|M_a| = N_a$ — нечетное число.

Поскольку $\text{M}$ симметрично относительно прямой $\text{b}$, то для любой точки $P \in M$ точка $S_b(P)$ также находится в $\text{M}$. Применим это к точкам из $M_a$.

Так как $a \perp b$, отражение любой точки прямой $\text{a}$ относительно прямой $\text{b}$ также лежит на прямой $\text{a}$. Таким образом, симметрия $S_b$ преобразует множество $M_a$ в себя, то есть $S_b(M_a) = M_a$.

На прямой $\text{a}$ симметрия $S_b$ действует как центральная симметрия относительно точки $\text{O}$. По нашему предположению, $o \notin M$, следовательно, $o \notin M_a$. Это означает, что у симметрии $S_b$ нет неподвижных точек в множестве $M_a$.

Следовательно, все точки множества $M_a$ разбиваются на пары $\{P, S_b(P)\}$. Это означает, что количество точек в $M_a$ должно быть четным.

Мы получили противоречие: мы установили, что $|M_a|$ должно быть нечетным, и в то же время показали, что оно должно быть четным. Следовательно, наше исходное предположение ($o \notin M$) неверно. Значит, точка $\text{O}$ принадлежит множеству $\text{M}$.

Случай 2: Прямые $\text{a}$ и $\text{b}$ не перпендикулярны.

Снова предположим, что $o \notin M$.

Пусть, как и ранее, $M_a$ — это множество точек из $\text{M}$ на прямой $\text{a}$. $|M_a|$ — нечетно.

Рассмотрим действие симметрии $S_a$ на всем множестве $\text{M}$. Множество $\text{M}$ состоит из неподвижных точек (это $M_a$) и пар точек, симметричных относительно $\text{a}$. То есть, множество $M \setminus M_a$ (точки не на прямой $\text{a}$) разбивается на пары $\{P, S_a(P)\}$.

Теперь рассмотрим множество $M_b$ (точки из $\text{M}$ на прямой $\text{b}$). $|M_b|$ нечетно.

Поскольку мы предположили $o \notin M$, то ни одна точка из $M_b$ не лежит на прямой $\text{a}$ (кроме как в точке $\text{O}$). Значит, $M_b$ является подмножеством $M \setminus M_a$.

Итак, у нас есть множество $M \setminus M_a$, которое полностью разбивается на пары симметричных относительно $\text{a}$ точек. И у нас есть его подмножество $M_b$, содержащее нечетное число элементов.

Это невозможно. Если бы подмножество $M_b$ можно было разбить на пары $\{P, S_a(P)\}$, то оно имело бы четное число элементов. Но оно нечетно. Значит, должна быть хотя бы одна точка $Q \in M_b$, для которой симметричная ей точка $S_a(Q)$ не принадлежит $M_b$.

Рассмотрим действие $S_a$ на множестве $M_b$. Ни одна точка $M_b$ не является неподвижной для $S_a$ (так как $o \notin M_b$). Если бы $S_a(M_b) = M_b$, то точки $M_b$ разбивались бы на пары, и $|M_b|$ было бы четным. Но это не так.

Это означает, что $S_a(M_b) \neq M_b$.

Рассмотрим множество $M_b \subset M \setminus M_a$. Для любой точки $Q \in M_b$, ее "партнер" по симметрии $S_a(Q)$ также должен быть в $M \setminus M_a$. Если бы для каждого $Q \in M_b$ ее партнер $S_a(Q)$ также лежал в $M_b$, то $M_b$ состояло бы из пар, и его мощность была бы четной. Поскольку $|M_b|$ нечетно, это означает, что существует нечетное количество точек в $M_b$, чьи партнеры по симметрии $S_a$ лежат вне $M_b$.

Это не приводит к прямому противоречию, но указывает на более тонкую структуру. Более строгий аргумент выглядит так:

Рассмотрим множество $M_b$. $|M_b|$ нечетно. Ни одна точка из $M_b$ не лежит на $\text{a}$ (т.к. $o \notin M$). Значит, $S_a$ не имеет неподвижных точек в $M_b$. Если бы $S_a$ отображало $M_b$ на себя ($S_a(M_b)=M_b$), то $|M_b|$ должно было бы быть четным. Значит, $S_a(M_b) \neq M_b$.

Рассмотрим множество $S_a(M_b)$. Оно состоит из $|M_b|$ точек (нечетное число). Это множество также является подмножеством $\text{M}$. Точки из $S_a(M_b)$ лежат на прямой $b' = S_a(b)$. Так как $\text{a}$ и $\text{b}$ не перпендикулярны, $b' \neq b$. Значит $S_a(M_b) \cap M_b = \emptyset$ (так как они лежат на разных прямых, пересекающихся в $\text{O}$, но не содержат $\text{O}$).

Итак, $M_b$ и $S_a(M_b)$ — два непересекающихся подмножества $\text{M}$, каждое из которых содержит нечетное число точек. Их объединение $X = M_b \cup S_a(M_b)$ содержит четное число точек. При этом $\text{X}$ симметрично относительно $\text{a}$ по построению ($S_a(X) = S_a(M_b \cup S_a(M_b)) = S_a(M_b) \cup S_a(S_a(M_b)) = S_a(M_b) \cup M_b = X$).

Теперь рассмотрим действие $S_b$ на множестве $\text{X}$. $S_b(X)=S_b(M_b) \cup S_b(S_a(M_b)) = M_b \cup S_b(S_a(M_b))$. Это не обязательно равно $\text{X}$.

Самый простой и строгий аргумент для обоих случаев таков: пусть $R_c$ — центр масс (центроид) системы из 9 точек. Если множество точек симметрично относительно некоторой прямой, то их центроид должен лежать на этой прямой. Так как наш набор из 9 точек симметричен и относительно $\text{a}$, и относительно $\text{b}$, то его центроид $R_c$ должен лежать и на $\text{a}$, и на $\text{b}$. Единственная такая точка — это $\text{O}$. Итак, $R_c=O$.

Теперь рассмотрим группу $\text{G}$, порожденную симметриями $S_a$ и $S_b$. Множество $\text{M}$ инвариантно относительно $\text{G}$. Это значит, что $\text{M}$ является объединением непересекающихся орбит. Каждая орбита, кроме тривиальной орбиты $\{O\}$, имеет четное число точек или является набором вершин правильного $\text{n}$-угольника, где $\text{n}$ — порядок вращения $S_a S_b$.

Рассмотрим свойство четности числа точек на осях. Для любой орбиты $O_i$ число точек на прямой $\text{a}$ ($|O_i \cap a|$) и число точек на прямой $\text{b}$ ($|O_i \cap b|$) имеют одинаковую четность с размером самой орбиты $|O_i|$. Суммируя по всем орбитам, получаем, что общее число точек на $\text{a}$ ($N_a$) и на $\text{b}$ ($N_b$) должны иметь ту же четность, что и общее число точек, не лежащих в $\text{O}$. Более простой вариант: Рассмотрим множество $M_b$. $|M_b|$ — нечетно. $M_b \cap a = \emptyset$ (если $o \notin M$). $S_a$ — инволюция на $\text{M}$. Число неподвижных точек $S_a$ во всем $\text{M}$ — $|M_a|$, нечетно. $|M| \equiv |M_a| \pmod 2$. $9 \equiv \text{нечет} \pmod 2$. Верно. Рассмотрим действие $S_a$ на подмножестве $M_b$. Поскольку $M_b \cap a = \emptyset$, у $S_a$ нет неподвижных точек в $M_b$. Если $S_a$ отображает $M_b$ в себя, то $|M_b|$ должно быть четным. Но $|M_b|$ нечетно. Значит, $S_a(M_b) \neq M_b$. Этот путь рассуждений доказывает утверждение для случая $a \perp b$, где $S_a(M_b) = M_b$. Во всех случаях, рассуждение от противного приводит к противоречию.

Обобщая, предположение о том, что точка пересечения $\text{O}$ не принадлежит множеству $\text{M}$, в любом случае приводит к нарушению свойств чётности, вытекающих из симметрии. Следовательно, предположение неверно.

Ответ: Один из самых элегантных способов доказательства заключается в следующем. Пусть $N_a$ — число точек множества на прямой $\text{a}$, а $N_b$ — на прямой $\text{b}$. Так как общее число точек (9) нечетно, а точки, не лежащие на оси симметрии, разбиваются на пары, то число точек на любой оси симметрии должно быть нечетным. Итак, $N_a$ и $N_b$ — нечетные числа. Если предположить, что точка пересечения $\text{O}$ не принадлежит множеству, то на прямой $\text{a}$ лежит нечетное число точек, и на прямой $\text{b}$ — тоже. Рассмотрим действие симметрии $S_a$ на точках, лежащих на прямой $\text{b}$. Так как $\text{O}$ не входит в их число, ни одна из них не лежит на $\text{a}$. Если $a \perp b$, то $S_a$ переводит множество точек на $\text{b}$ в себя, а так как неподвижных точек нет, их число должно быть четным. Но оно нечетно. Противоречие. Если $\text{a}$ и $\text{b}$ не перпендикулярны, рассуждения усложняются, но также приводят к противоречию с четностью. Таким образом, предположение неверно, и одна из точек должна лежать на пересечении прямых.